Oblicz sumę wszystkich liczb nieparzystych zawartych miedzy 8 a 2002.... Question from @isia2005

isia2005 @isia2005

April 2022 1 13 Report

Oblicz sumę wszystkich liczb nieparzystych zawartych miedzy 8 a 2002

0AB

Odpowiedź

Suma wszystkich liczb nieparzystych zawartych między 8, a 2002 jest równa

$\boxed{ \:\: 1001985 \:\: } \: = \: \displaystyle { \frac { \: 9 \, + \, 2001 \: }{2}} \cdot 997 }$

Szczegółowe wyjaśnienie

Sumę $S_{n}$ skończonego ciągu arytmetycznego można obliczyć z następującego wzoru

$S_{n} \: = \: a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n} \: = \: {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}} \cdot n$

Jeżeli uwzględnić, że $a_n$ , czyli $n$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego można wyrazić wzorem $a_{1}+(n-1) \cdot r$ , to powyższy wzór można zapisać jako

$S_{n} \: = \: a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n} \: = \: {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}} \cdot n \: = \: {\frac {2 \cdot a_{1}+(n-1) \cdot r}{2}} \cdot n$

Ale z tej postaci nie będę korzystała.

Z zadania wiemy, że $a_1 = 9$ oraz, że $a_n = 2001$ . Pozostaje obliczyć $n$ , czyli ile jest liczb nieparzystych od 9 do 2001...

$n \: = \: \displaystyle{ 1 \, + \, \frac { \: 2001 - 9 \: } {2} \:\: = \:\: 1 \, + \, 996 \:\: = \:\: 997 }$

Skąd się wzięło powyższe obliczenie? Popatrz na poniższe dwa wzory. Pierwszy dla ilości liczb nieparzystych od 9 do 11, powinny być dwie prawda? I drugi dla ilości liczb nieparzystych od 9 do 13, powinny być trzy...

$\displaystyle{ 1 \, + \, \frac { \: 11 - 9 \: } {2} \:\: = \:\:2 }\\\\\\\displaystyle{ 1 \, + \, \frac { \: 13 - 9 \: } {2} \:\: = \:\:3 }$

Oczywiście można po prostu po kolei dodać wszystkie liczby. Gdyby zadanie było z informatyki, zapewne napisałabym właśnie takie rozwiązanie (tzn. z dodawaniem wszystkich liczb).

Ale tutaj jest widoczne, że liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $r \: = \: 2$ . Tak na marginesie, to nawet w informatyce zdecydowanie lepiej jest najpierw sprawdzić czy jest wzór...