oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych 4 cyfrowych podzielnych przez 34.... Question from @mania441

April 2022 1 19 Report

oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych 4 cyfrowych podzielnych przez 34

0AB

Odpowiedź

1459620

Rozważmy ciąg arytmetyczny $\left( \displaystyle \: a_n \, \right)$ , którego pierwszy wyraz $\displaystyle a_1$ jest równy 0, a różnica r = 34.

Obliczmy który najmniejszy wyraz tego ciągu jest już liczbą czterocyfrową. Rozwiązując nierówność

$\displaystyle { 1000 \: \leq \: a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r } \\\\\displaystyle { 1000 \: \leq \: 0 + (n - 1) \cdot 34 } \\\\\displaystyle { 1000 \: \leq \: 34n - 34 } \\\\\displaystyle { 1034 \: \leq \: 34n }$

otrzymujemy, że najmniejszą liczbą naturalną n spełniającą tę nierówność jest 31, bo

30 * 34 = 1020

31 * 34 = 1054.

Obliczmy który największy wyraz tego ciągu jest jeszcze liczbą czterocyfrową. Rozwiązując nierówność

$\displaystyle { a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r \: \leq \: 9999 } \\\\\displaystyle { 0 + (n - 1) \cdot 34 \: \leq \: 9999 } \\\\\displaystyle { 34n - 34 \: \leq \: 9999 } \\\\\displaystyle { 34n \: \leq \: 9999 + 34} \\\\\displaystyle { 34n \: \leq \: 10033}$

otrzymujemy, że największą liczbą naturalną n spełniającą tę nierówność jest 295, bo

30 * 295 = 10030

31 * 296 = 10064.

Jeśli obliczymy $S_{295}$ sumę początkowych 295 wyrazów tego ciągu arytmetycznego oraz $S_{30}$ sumę początkowych 30 wyrazów tego ciągu arytmetycznego, to poszukiwana suma wszystkich liczb naturalnych 4 cyfrowych podzielnych przez 34 jest równa

$S_{295} - S_{30} = 0,5 \cdot 295 \cdot ( 295 - 1 ) \cdot 34 \:\: - \:\: 0,5 \cdot 30 \cdot ( 30 - 1 ) \cdot 34 = \\\\295 \cdot ( 295 - 1 ) \cdot 17 \:\: - \:\: 30 \cdot ( 30 - 1 ) \cdot 17 = \\\\295 \cdot 294 \cdot 17 \:\: - \:\: 30 \cdot 29 \cdot 17 = \\\\1474410 - 14790 = \boxed{ \:\:\: 1459620 \:\:\: }$

Szczegółowe wyjaśnienie

$\displaystyle { a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r }$

$\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n} = {\dfrac {2a_{1}+(n-1)r}{2}}n}\\\\\\\left \{ {{\displaystyle{ \text{gdy } \: a_1=0} } \atop {\displaystyle S_{n}=\dfrac {n \cdot (n-1) \cdot r}{2}}} \right.$