Question

Oblicz potencjał i natężenie pola elektrycznego w środku ćwiartki pierścienia o promieniu R naładowanej równomiernie ładunkiem z gęstością liniową.

Answer 1

Dzielimy pierścień na małe kawałki o długości dL

(ładunki na nich to dq = ro * dL, gdzie ro jest gęstością  liniową ładunku) 

Oznaczam poniżej stałą:

 

 

Z potencjałem nie ma się co bawić: Każdy ładunek dq daje w odleglości R wkład dV do potencjału, czyli po zsumowaniu potencjał jest równy potencjałowi ładunku Q ćwiartki pierścienia w odległości R czyli:

 

 

Wymiar wyniku: Ponieważ [ k ] = N * m^2 / C^2 oraz [ ro ] = C / m to:

 

 

 

Natężenie pola: Ustawmy ćwiartkę pierścienia tak, aby wektory pola leżały w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, a środek pierścienia w zerze. Etedy wkłady dE pola od każdego ładunku dq  dają się zapisać jako wektory:

 

 

 

gdzie alfa jest kątem, który wektor dE tworzy z osią X. Kąt ten zmienia się od 0 do pi/2. Skalar E0 jest wartością pola wytwarzanego przez ładunek dq w odległości R.

Obliczmy np. składową 'x' wektora E

 

 

 

i po wstawieniu E0 podobnie jak w potencjale:

 

 

 

Wartość składowej Ey jest taka sama (nie ma powodu, aby była inna bo ćwiartka pierścienia, ustawiona tak, jak opisuję, ma symetrię względem prostej y = x). Wobec tego w tym wypadku wektor natężenia E ma postać:

 

 

 

Wymiarem wyniku są V/m gdyż iloczyn k*ro ma wymiar wolta, jak pokazałem przy potencjale.

 

W ogólnym przypadku wektor E jest skierowany wzdłuż prostej łączącej środek łuku, będącego ćwiartką pierścienia, do środka pierścienia, a jego zwrot zależy od znaku ładunku na pierścieniu.