Question

Oblicz pole zamalowanej na żółto figury, wiedząc, że r=1

Załącznik;)

Answer 1

A) rysujemy wewnątrz kwadrat łącząc środki kół (załącznik)

bok kwadratu
a=2r
przekątna kwadratu:
d=a√2
d=2r√2

Promień dużego koła wynosi
R=r+d/2
R=r+r√2
Pole zamalowane wynosi pole dużego koła odjąć pola małych kół, zatem:
P=πR²-4πr²=π(r+r√2)²-4πr²=π((r+r√2)²-4r²)=π(r²+2r²√2+2r²-4r²)=π(2r²√2-r²)
Przyjmując, że r=1, mamy
P=π(2√2-1)

b)rysujemy wewnątrz trójkąt równoboczny łącząc środki kół (załącznik)

bok trójkąta:
a=2r
wysokość
h=½a√3
h=½2r√3=r√3

wysokość w trójkącie równobocznym przecinają się w 2/3 długości

promień dużego koła wynosi
R=r+⅔h
R=r+⅔r√3

Pole zamalowane wynosi pole dużego koła odjąć pola małych kół, zatem:
P=πR²-3πr²=π(R²-3r²)=π((r+⅔r√3)²-3r²)=π(r²+1⅓r²√3+1⅓r²-3r²)=π(1⅓r²√3-⅔r²)

Przyjmując, że r=1, mamy
P=π(1⅓√3-⅔)

c)rysujemy wewnątrz kwadrat łącząc środki kół (załącznik)

bok kwadratu
a=2r
przekątna kwadratu:
d=a√2
d=2r√2

promień małego koła wynosi:
r₁=d/2-r
r₁=r√2-r

pole małego koła wynosi:
P=πr₁²=π(r√2-r)²=π(2r²-2r²√2+r²)=π(3r²-2r²√2)

Przyjmując, że r=1, mamy
P=π(3-2√2)

liczę na naj;)