Question

Oblicz pole trójkąta w układzie współrzędnych o wierzchołkach:

A (2, -4)

B (5, 2)

C (-6, 7)

Z góry dzięki za rozwiązanie.

Answer 1

-->

AB = [ 5 -2; 2 -(-4)] = [ 3; 6]

I AB I^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45 = 9*5

I AB I = 3 p(5)

----------------

-->

BC = [-6 -5; 7 -2] = [ -11; 5]

I BC I ^2 = (-11)^2 + 5^2 = 121 +25 = 146

I BC I = p(146)

-------------------

Iloczyn  skalarny

-->

BA = [ -3; -6}

-->

BC = [-11; 5]

BA o BC = (-3)*(-11) + (-6)*5 = 33 - 30 = 3

oraz

BA o BC = IBA I* I BC I * cos alfa = 3 p(5)*p(146)*cos alfa = 3*p(730)*cos alfa

3*p(730)*cos alfa = 3 / : 3

p(730) *cos alfa = 1

cos alfa = 1/p(730)

=================

sin alfa = p[ 1 - (cos alfa)^2 ] = p[1 - 1/730] = p[729/730] = 27/p(730)

Pole trójkąta

P = 0,5*I AB I *IBC I * sin alfa = 0,5*p(45)*p(146)*[ 27/p(730)] =

= 0,5*p( 6570) *[27/p(730)] = 0,5*27*p[ 6570/730] =0,5*27*p(9) =

= 0,5*27*3 = 40,5

P = 40,5 j^2

===================

II sposób rysunkowy, ale łatwiejszy

 

Mamy trójkąt ABC , gdzie A = (2; -4), B =(5;2), C = (-6; 7)

Rysujemy prostokąt opisany na tym trójkącie o bokach równoległych do osi

układu współrzędnych .

Obliczmy długości boków tego prostokąta:

a = 5 - (-6) = 5 + 6 = 11

b = 7 - (-4) = 7 + 4 = 11

Pk = 11*11 = 121 - pole kwadratu

Mamy też 3 trójkąty prostokątne:

1) o przeciwprostokątnej AB

-->

AB = [5 -2; 2 -(-4)] = [3; 6]

o polu P1 = 0,5*3*6 = 9

2) o przeciwprostokątnej BC

-->

BC = [-6 -5;  7 -2] = [ -11; 5]

o polu P2 = 0,5*11*5 = 27,5

3) o przeciwprostokątnej AC

-->

AC = [ -6 -2; 7 -(-4)] = [ -8; 11 ]

o polu P3 = 0,5*8*11 = 44

Pole trójkąta ABC jest równe

P = Pk - [P1 + P2 + P3] = 121 - [9 + 27,5 + 44] = 121 - 80,5 = 40,5

Odp. P = 40,5 j^2

====================

III sposób - za pomocą wyznacznika

-->

AB = [3; 6]

-->

BC = [-8; 11]

Obliczamy wyznacznik d tych wektorów

d = 3*11 - 6*(-8) = 33 + 48 = 81

P = (1/2)* I d I = (1/2)*81 = 40,5 j^2

====================================