Question

Oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest dwukrotnie większy od drugiego kąta oraz:
a) obwód tego trójkąta jest równy 6+2√3
b) różnica długości przeciwprostokątnej i krótszej przyprostokątnej jest równa 3+√3

Answer 1

Rozwiązanie
a) Wiemy , że kąt β=2*α i z własności trójkąta prostokątnego oraz sumy kątów w trójkącie:

180°=90°+α+β=90°+α+2*α=90°+3α
3α=90°/:3
α=30° , więc β=2*30°=60°

Oznaczmy boki trójkąta : a, b,c , z funkcji trygomentrycznych
b/a = ctg30°
b/a = √3
b=√3a

c/a= sin60°
c/a = √3/2
c=√3/2 a

Obwód trójkąta
Ob = a+b+c = 6+2√3 , gdzie b=√3a , c=√3/2a
Ob = a +√3a+√3/2a =( 2a +2√3a+√3a)/2
(2a+3√3a)/2 = 6+2√3/*2
a(2+3√3) = 12+4√3 /: (2+3√3)
a = 12+4√3/(2+3√3) ≈2,6
b= √3*( 12+4√3/2+3√3) ≈4,5
c ≈2,2