Question

Oblicz pole prostokąta o obwodzie 140 cm, wiedzac, ze dlugosci jego bokow oraz przekatnej tworza ciag arytmetyczny.

Answer 1

A₁- krótszy bok
a₂ - dłuższy bok
a₃ - przekątna

a₁ + a₂ = 140 => 2a₁ + r = 140
(a₁)² + (a₂)² = (a₃)²

a₂ = a₁ + r
a₃ = a₁ +2r

(a₁)² + (a₁ + r)² = (a₁ +2r)²
a₁² + a₁² + 2a₁r + r² = a₁² +4a₁r + 4r²
a₁² - 2a₁r - 3r²=0

Mamy układ 2 równań z 2 niewiadomymi:
2a₁ + r = 140
a₁² - 2a₁r - 3r²=0

r = 140 - 2a₁

Podstawiamy za r powyższe wyrażenie i otrzymujemy równanie kwadratowe zmiennej a₁, dla uproszczenia działań zastąpimy tą literę, literą x. Mamy:

x² - 2x(140 - 2x) - 3(140 -2x)² = x² - 280x + 4x² -3(19600 - 560x + 4x²) = 5x² - 280x - 58800 + 1680x - 12x² = -7x² +1400x - 58800

-7x² +1400x - 58800 = 0
x² - 200x + 8400 = 0
Δ = 200² - 4 × 1 × 8400 = 40000 - 33600 = 6400
√Δ = 80
x₁ = 200 - 80 ÷ 2 = 60
x₂ = 200 + 80 ÷ 2 = 140 <- tą odpowiedź odrzucamy, bo wtedy drugi bok musiałby mieć 0 cm :)

a₁ = 60
a₁ + a₂ = 140 => 60 + a₂ = 140 => a₂ = 80

P = 60 × 80 = 4800