Question

Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka, którego powierzchnię boczną tworzy wycinek koła o promieniu długości 3cm i kącie:
a) α = 180 stopni
b) α = 120 stopni
c) α = 60 stopni

Answer 1

Pole P powierzchni całkowitej stożka to suma pola podstawy P(p) oraz pola powierzchni bocznej P(pb):

P = P(p) + P (pb) - to co w nawiasie ozn że ma być zapisane w indeksie dolnym
podstawą jest koło zatem pole koła obilczymy ze wzoru πr².
Aby obliczyć pole powierzchni bocznej należy skorzystać ze wzoru na długość łuku i faktu że długość łuku musi być równa obwodowi podstway stożka (nie chce mi się tego wyprowadzać - złe sie tu zapisuje ułamki - jeśli tego potrezebujesz napisz to cos wykombinuje) po przekształceniach otrzymamy że
(Uwaga! "/" oznacza kreskę ułamkową , "x" ozn znak mnożenia)
α =(360 x r )/l (to nam bedzie potrzebne do znalezienia dlugosci promienia podstawy)
gdzie l - jest długością promienia wycinka koła
r jest długością promienia podstawy
ostatecznie wzór na pole wygląda następująco
P= πr (r+l)

mamy już wszystkie wzory możemy przejść do obliczeń
a) l=3, α= 180⁰ , znajdziemy r (podstawiamy do wzoru na α)

α= (360 x r) / l
180= (360 x r) / 3
180 x 3 = 360 x r
540 = 360 x r /÷360
r= 1,5 - to jest długość promienia podstawy

mamy juz wszystko aby obliczyć pole powierzchni całkowitej

P = 3/2π x (3/2 + 3) = 3/2 π x 9/2 = 27/4π

b) α = 120, l=3
obliczmy znowu r
α = (360 x r ) / 3
3 x 120 = 360 x r
r=1

zatem P = π x 1 (1 + 3) = π x4 = 4π

c) α = 60 , l=3
3 x 60 = 360 x r
360 x r = 180
r = 1/2
zatem P = π x 1/2x (1/2 +3) = 1/2 π x 7/2 = 7/4 π
koniec