Question

Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość bryły powstałej w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego dookoła przeciwprostokątnej, jeśli pole trójkąta jest równe 12cm2, a stosunek długości przyprostokątnych wynosi 2:3.

Answer 1

Bryła powstała w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej a to stożek o wysokości h równej przyprostokątnej b i promieniu r podstawy równym przyprostokątnej a oraz tworzącej l równej przeciwprostokątnej c. 
(b = h ; a = r ; c = l )
Pole trójkąta prostokątnego P = 1/2 a*b
(przyprostokątne jako podstawa i wysokość)
Z treści zadania: a/b = 2/3    ⇒  b = 3/2 a 
Oraz P = 12cm²
czyli:  12 = 1/2 * a * 3/2 a
         12 = 3/4 *a²      /*(4/3)
         16 = a²
         a = 4
czyli b = 3/2 * 4 = 6
c² = a² + b²
c² = 16 + 36 = 52
c =√52 = √(4*13) = 2√13
objętość stożka:
V = 1/3 π r² *h = 1/3 π * a² *b = 1/3 * π * 4² *6 = 32π
pole powierzchni całkowitej:
Pc = π r² + π r l = π *a² + π*a*c = 16π + 8π√13 = 8π(2+√13)