Question

Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny, wiedząc że pole koła opisanego na tym trójącie jest równe 12.

Answer 1

P1  - pole koła opisanego na trójkącie równobocznym

Mamy

pi R^2 = 12   => R^2 = 12 / pi

ale

R = ( 2/3) *h  , gdzie  h - wysokość tego trójkąta

r  - promień koła wpisanego w ten trójkąt

r = ( 1/3)*h

zatem

 r / R = [ (1/3) * h] / [ (2/3)*h ] = (1/3) *(3/2) = 1/2

r = (1/2) R

czyli

r^2 = (1/4) R^2

P2  - pole koła wpisanego w dany trójkąt równoboczny

Mamy

P2 = pi r^2 = pi* ( 1/4) *R^2 = (1/4) pi *[ 12 / pi ] = 3

Odp. Pole koła wpisanego P2 = 3.

=============================

II  sposób

 

r = (1/3) h

R = (2/3) h

więc

r / R =  1/2

k  - skala podobieństwa

k = r/R = 1/2

P2 / P1 = k^2 = 1/4

P2/ 12 = 1/4

P2 = 3

=========