Funkcja f(x) = tg²(x) jest funkcją złożoną, tzn. składa się ona z dwóch innych funkcji : h(x) i g(x) które pozostają do siebie w relacji: h(g(x)).
Zatem liczenie pochodnej funkcji złożonej odbywa się wg. schematu:
[f(x)]' = [h(g(x))]' * [g(x)]'
Słownie - pochodna funkcji f(x) równa się pochodnej funkcji zewnętrznej h(x) [przy niezmienionej zawartości wnętrza funkcji h(x)] pomnożonej następnie przez pochodną funkcji wewnętrznej - g(x).
W naszym przypadku: h(x) = [g(x)]²; g(x) = tg x.
Zatem:
a) ogólnie: pochodna z funkcji: u(x) = xⁿ to [u(x)]' = n*xⁿ⁻¹
b) ogólnie: pochodna z funkcji: w(x) = tg x to [w(x)]' = 1/cos²x
Odpowiedź:
[f(x)]' = 2 * sin x / cos³ x
lub zapis alternatywny:
[f(x)]' = 2 * tg x * sec²x
Szczegółowe wyjaśnienie:
Funkcja f(x) = tg²(x) jest funkcją złożoną, tzn. składa się ona z dwóch innych funkcji : h(x) i g(x) które pozostają do siebie w relacji: h(g(x)).
Zatem liczenie pochodnej funkcji złożonej odbywa się wg. schematu:
[f(x)]' = [h(g(x))]' * [g(x)]'
Słownie - pochodna funkcji f(x) równa się pochodnej funkcji zewnętrznej h(x) [przy niezmienionej zawartości wnętrza funkcji h(x)] pomnożonej następnie przez pochodną funkcji wewnętrznej - g(x).
W naszym przypadku: h(x) = [g(x)]²; g(x) = tg x.
Zatem:
a) ogólnie: pochodna z funkcji: u(x) = xⁿ to [u(x)]' = n*xⁿ⁻¹
b) ogólnie: pochodna z funkcji: w(x) = tg x to [w(x)]' = 1/cos²x
No, to wykonujemy:
[f(x)]' = 2*g(x)²⁻¹ * [1/cos²x] = 2 * (tg x) * 1/cos²x =
= 2 * (sin x/cos x) * 1/cos²x =
= 2 * sin x/ cos³x
lub zapis alternatywny:
[f(x)]' = 2 * tg x * sec²x