Question

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej w wyniku obrotu:

a) trójkąta równoramiennego o podstawie 10cm i ramieniu 13cm wokoło podstawy

b) kwadratu o boku 2cm wokoło przekątnej

c) rombu o przekątnych 6cm i 8cm wokoło krótszej przekątnej

Answer 1

a) Obracając trójkąt równoramienny wokół podstawy, dostajemy 2 stożki o promieniu równym wysokości trójkąta i tworzących równych ramionom trójkąta stąd:

l=13 cm

r=h

aby wyliczyć h dzielimy trójkąt równoramienny na pół i liczymy z tw. pitagorasa:

(10/2)²+h²=13²

h²=13²-5²

h²=169-25

h²=144

h=12cm

r=12cm

Czyli promień obydwu stożków jest równy 12cm.

Wysokością stożka jest połowa podstawy trójkąta czyli H=5cm

V=⅓Pp*H

Pp=πr²=12²π=144π

V=⅓*144π*5=240πcm³ --> objętość 1 stożka

2V=240π*2=480πcm³ --> objętość 2 stożków, czyli otrzymanej bryły

Licząc pole całkowite takiej bryły należy pamiętać, że liczymy jedynie pola boczne tych 2 stożków, ponieważ podstawy tych stożków są złączone ze sobą i nie należą do pola całkowitego bryły.

Pc=2Pb=2*πrl=2*12*13π=312πcm²

 

b) Przekątna kwadratu d=a√2=2√2cm

w takiej bryle powstają tak samo 2 stożki o tworzących równych bokom kwadratu l=a=2cm

promieniu równym połowie przekątnej kwadratu

r=½d=½*2√2=√2cm

i wysokości stożka również równej połowie przekątnej kwadratu

H=√2cm

V=⅓Pp*H

Pp=πr²=2πcm²

V=⅓*2π*√2=2√2π/3cm³ --> objętość 1 stożka

2V=2√2π/3cm³*2=4√2π/3cm³

 

Pc=2Pb=2*πrl=2*√2*2π=4√2πcm²

 

c) W takiej bryle znowu powstają 2 takie same stożki (ponieważ przekątne dzielą romb na pół pod kątem prostym), których średnicą jest dłuższa przekątna, a wysokością połowa krótszej podstawy. Zatem:

2r=8cm

r=4cm

H=6/2=3cm

l=a

bok rombu wyliczę z tw. pitagorasa patrząc na połowę przekroju jednego ze stożków

(jest to trójkąt egipski o bokach 3, 4, 5 ale wyliczę Ci to)

r²+H₂=l²

4²+3²=l²

16+9=l²

25=l²

l=5cm

 

V=⅓Pp*H

Pp=πr²=4²π=16πcm²

V=⅓*16π*3=16πcm³ --> objętość jednego stożka

2V=2*16π=32πcm³

 

Pc=2Pb=2*πrl=2*4*5π=40πcm²