Question

oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej podczas obrotu trójkata prostokątnego o bokach 5, 12,13 cm wokół przeciwprostokątnej

Answer 1

Dane : a = 12  ; b = 5 ; c = 13 ; w trókącie prostokątnym. Są to dwa stożki o wspólnej podstawie o promieniu r ;     skierowane wierzchołkami jeden do góry, drugi do dołu i o tworzących l1 = 5  oraz  l2 = 12.

Obliczmy wysokość h trójkąta ABC oznaczając : AB = a ; BC=b ; CA=c.

Wysokość ta to r - promień podstawy stożków.

Z wzoru Herona, pole trójkata ABC ;   s = √[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)] ; gdzie p - połowa obwodu p = (1/2)(a+b+c) = (1/2)(12+5+13) = (1/2)*30 = 15 s = √[15*(15-12)*(15-5)*(15-13)] = √(15*3*10*2) = √900 = 30 s(ABC) = 30 cm^2   ;

Ale pole trójkąta można opisać też innym wzorem ; s(ABC) = (1/2)c* h = (1/2)c*r ;  r= 2s / c = 60/13 r = 60/13  - promień podstawy stożków Objętość całkowita jest równa sumie objętości stożków.

Policzmy objętość stożków : Stożek górny : r = 60/13   ; l = 5 (H1)^2 + r^2 = (l1)^2 (H1)^2 = (l1)^2 - r^2 = 5^2 - (60/13)^2 = 25 - 3600/169 = (4225-3600)/169 = 625/169 H1 = √(625/169) = 25/13 V1 = (1/3)π*(60/13)^2 * 25/13 = (1/3)π* 3600*25/13^3 = π* 1200*25/13^3 Stożek dolny : r = 60/13  ; l = 12 (H2)^2 + r^2 = 12^2 (H2)^2 = 12^2 - (60/13)^2 = 144 - 3600/169 = (24336 - 3600)/169 = 20736/169 H2 = 144/13 V2 = (1/3)π*(60/13)^2 * 144/13 = [π*3600/(3*13^2)] * 144/13 = π*1200 * 144/13^3
Vc = V1 + V2 = π*1200*25/ 13^3 + π*1200*144/13^3 = (π*1200/13^3) * (25+144) = (π*1200/13^3)*13^2  = π*1200 / 13    - szukana objętość bryły. c.d.n.

Answer 2

Po obrocie powstanie stożek.

 

 

 

 

 

 

 

teraz Pole

 

 

 

 

 

 

Pozdrawiam.