Oblicz objętość bryły ograniczonej paraboloidą obrotową z=x^2 + y^2 i płaszczyzną z=1.... Question from @kasiunia16111

November 2018 2 10 Report

Oblicz objętość bryły ograniczonej paraboloidą obrotową z=x^2 + y^2 i płaszczyzną z=1.

jan28020 Przechodząc na współrzędne walcowe:
$x=r\cos\phi\\y=r\sin\phi\\z=z\\|J|=r$
Po zrzutowaniu tej bryły na płaszczyznę $z=0$ otrzymujemy okrąg o promieniu 1 i środku w punkcie (0,0)
dlatego granice całkowania dla $r,\phi,z$ to
$0\lee r\le 1\\0\le \phi \le 2\pi\\r^2\le z\le 1$
objętość tej bryły to
$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{r^2}^{1}rdzdrd\phi =\int_{0}^{2\pi}\phi\cdot \int_{0}^{1} r(1-r^2)dr=2\pi\cdot \left(\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\right)\big|_{0}^{1}=\\=2\pi (1/2-1/4)=\pi/2$

0 votes Thanks 3

tinytunia Policzymy sobie całkę, stosując współrzędne walcowe, czyli: $x=rcos \alpha , y=rsin \alpha , z=z$ , gdzie $0 \leq r \leq \sqrt{z} , 0 \leq \alpha \leq 2 \pi , 0 \leq z \leq 1$ . Liczymy teraz całkę (nie zapominając o policzeniu jakobianu, który w tym wypadku wynosi r): $\int\limits^1_0 { \int\limits^{2 \pi } _0 { \int\limits^{ \sqrt{z}} _0 { (r^{2} cos^{2} \alpha + r^{2} sin^{2} \alpha)*r } \, dr } \, d \alpha } \, dz=\int\limits^1_0 { \int\limits^{2 \pi } _0 { \int\limits^{ \sqrt{z}} _0 {r^{3}}drd \alpha dz=2 \pi \int\limits^1_0 {\frac{z^{2}}{4} d \alpha dz= \frac{ \pi }{6}$
W razie pytań służę pomocą. :)

1 votes Thanks 2

About Us

Life Enjoy

" Life is not a problem to be solved but a reality to be experienced! "

Oblicz pole figury ograniczonej liniami : y=1/2x^2 i y=2x

Jak obliczyć pochodną funkcji g(x) = 3x-2/2x+1 ? Proszę o pomoc.

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social