Question

Oblicz największą możliwą objętość walca, którego przekątną przekroju osiowego ma długość 6

Answer 1

(2r)²+H²=6²
4r²=36-H²
r²=9-H²/4

V=πr² ∙ H = π(9-H²/4)∙H = -H³π/4 +9πH
Należy wyznaczyć ekstremum (maksimum) funkcji V (H), czyli policzyć pochodną V'(H)
V'(H)=-3π/4 H² +9π = (3√π - √(3π)/2 H)(3√π + √(3π)/2 H)=0
Maksimum jest wtedy, gdy pochodna zmienia znak z + na -. Pochodna jest funkcją kwadratową z ujemnym a. Zatem szukamy prawego miejsca zerowego.
--------+++++++(*)-----------
3√π - √(3π)/2 H =0
H = 3√π / (√(3π)/2) =3∙2/√3 =2√3

Na koniec policzmy Objętość dla H=2√3:
V=-H³π/4 +9πH = -(2√3)³π/4 +9π(2√3) = -8∙3√3π/4 +18√3π = 12√3π