Question

Oblicz miary kątów czworokąta ABCD, wiedząc, że:
a) przekątna AC jest dwusieczną kąta przy wierzchołku A i dwusieczną kąta przy wierzchołku C oraz kąt ACB jest o 20 stopni mniejszy od kąta DAC, natomiast kąt ADC jest o 50 stopni większy od kąta CAB.
b) przekątna AC jest dwusieczną kąta przy wierzchołku A oraz suma miar kątów DAC i DCA wynosi 90 stopni, kąt DCA ma miarę dwa razy większą niż kąt ACB, natomiast kąt ABC jest o 60stopni większy od kąta DAC.
c) Czy czworokąt ABCD jest deltoidem? Odpowiedź uzasadnij.

Answer 1

Oblicz miary kątów czworokąta ABCD, wiedząc, że:
a) przekątna AC jest dwusieczną kąta przy wierzchołku A i dwusieczną kąta przy wierzchołku C oraz kąt ACB jest o 20 stopni mniejszy od kąta DAC, natomiast kąt ADC jest o 50 stopni większy od kąta CAB.
kąt DAC=α
kąt ACB=α-20⁰
kąt ADC=180⁰-α-(α-20⁰)=200⁰-2α
kąt ADC=50⁰+α
200⁰-2α=50⁰+α
3α=150⁰
α=50⁰→→→kąt ACB=50⁰-20⁰=30⁰
kąt ADC=50⁰+50⁰=100⁰
stąd :
kąty czworokąta wynoszą: 100⁰,100⁰,100⁰,60⁰

b) przekątna AC jest dwusieczną kąta przy wierzchołku A oraz suma miar kątów DAC i DCA wynosi 90 stopni, kąt DCA ma miarę dwa razy większą niż kąt ACB, natomiast kąt ABC jest o 60stopni większy od kąta DAC.
kat DAC=α
suma miar kątów DAC i DCA wynosi 90 stopni,czyli kąt ADC=90⁰
kąt DCA=2β
kąt DCA ma miarę dwa razy większą niż kąt ACB
kąt ACB=β
kąt ABC=180-α-β
kąt ABC jest o 60stopni większy od kąta DAC,
czyli 180-α-β =60⁰+α
120⁰=2α+β→→β=120⁰-2α
α+2β=90⁰
więc:α+2(120⁰-2α)=980⁰
α+240⁰-4α=90⁰
240⁰-90⁰=3α
150⁰=3α
α=50⁰
2β=40⁰
zatem kąty figury mają:100⁰,90⁰,110⁰, 60⁰

c) Czy czworokąt ABCD jest deltoidem? Odpowiedź uzasadnij.
a)Tak, ponieważ w deltoidzie przekątna jest dwusieczną , a pozostałe kąty( te gdzie nie ma dwusiecznej) są równe.
b) nie, bo ma kąty różne