Oblicz, czy dany szereg jest zbieżny czy rozbieżny .... Question from @kamil2001i

kamil2001i @kamil2001i

June 2022 1 27 Report

Oblicz, czy dany szereg jest zbieżny czy rozbieżny

tutaj zauważ że dla |a|≥1 szereg nie spełnia warunku koniecznego - jego granica jest nierówna 0 (a konkretniej nieokreślona bo będzie to dążyło do sin(∞) czyli do nie wiadomo czego) czyli będzie rozbieżny

dla |a|<1 możemy już pomyśleć.

granica naⁿ wówczas wynosi 0 a zatem granica sin(naⁿ)/(naⁿ) wynosi 1 skąd też sin(naⁿ)/(naⁿ)<1 a więc sin(naⁿ)<naⁿ.

Szereg naⁿ jest zbieżny, ponieważ na podstawie kryterium Cauchy'ego -przy n->∞

pierwiastek n-tego stopnia z |naⁿ| to |a pierwiastek n-tego stopnia z n| = |a*1|=|a|<1

Zatem na podstawie kryterium porównawczego Twój również jest zbieżny dla |a|<1.

0 votes Thanks 0

Paawełek sin(naⁿ) jest mniejszy od naⁿ więc wystarczy wykazać że sam naⁿ jest zbieżny by na podstawie k. porównawczego stwierdzić że sin(naⁿ) jest zbieżny

Piok Cały fragment tłumaczący, że dla |a|≥1 szereg jest rozbieżny jest niepoprany i nie da się go naprawić.

Piok "tutaj zauważ że dla |a|≥1 szereg nie spełnia warunku koniecznego - jego granica jest nierówna 0 (a konkretniej nieokreślona bo będzie to dążyło do sin(∞) czyli do nie wiadomo czego) czyli będzie rozbieżny"

Piok Panie kolego, a sin(n*pi) do czego dąży? Do 0 mimo, że jest to "sin(∞)"!

Piok To, że mamy sin(∞) nic nie znaczy. Można tak dobrać ciąg, że granicą będzie cokolwiek z przedziału [-1,1] zatem w szczególnym przypadku może to być też zero. Dlatego powyższe rozwiązanie nie mówi nic o przypadku |a|≥1.

Piok Pokazanie, że dla |a|≥1 ciąg sin(na^n) nie ma granicy jest raczej bardzo trudne (na chwilę obecną nie wiem jak to zrobić). Podejrzewam, że trzeba korzystać z jakichś oszacowań diofantycznych i gęstego wypełniania odcinka. Wiem, że pokazanie nawet nieistnienia granicy sin(a^n) jest mocno skomplikowane. Tak więc niestety ale cały początek jest błędny i niemgliwy do naprawienia łataniem (trzeba wszystko zmienić).

Piok Natomiast jeśli chodzi o |a|<1 to jest prawie ok. Ogólnie faktycznie mamy zbieżność dla |a|<1 ale:

Piok "granica naⁿ wówczas wynosi 0 a zatem granica sin(naⁿ)/(naⁿ) wynosi 1 skąd też sin(naⁿ)/(naⁿ)<1 a więc sin(naⁿ)

Piok To wnioskowanie jest nieprawdziwe. Przecież z faktu, że jakaś granica jest równa 1 nie można wnioskować, że ten ciąg jest mniejszy od 1. (kontr)Przykład 1+1/n jest większy od 1 a granicą jest ciągu jest 1.

Piok Po prostu piszemy, że naⁿ ≥ |sin(naⁿ)| co nie wymaga większego komentarza. A szereg naⁿ jest zbieżny (to faktycznie wynika z Cauchy'ego) zatem mamy bezwzględną zbieżność sin(naⁿ) czyli również zbieżność i to koniec dla |a|<1.