Oblicz czy dany szereg jest zbieżny czy rozbieżny.... Question from @kamil2001i

kamil2001i @kamil2001i

June 2022 1 30 Report

Oblicz czy dany szereg jest zbieżny czy rozbieżny

Z pewnością funkcja wykladnicza wzrasta o wiele szybciej niż funkcja wielomianowa a więc zaczniemy od $3^{\sqrt{n}}>n^2$ a zatem $\dfrac{1}{3^{\sqrt{n}}}$ i na podstawie k. porównawczego mamy szereg zbieżny (po prawej jest harmoniczny zbieżny rzedu 2)

Co do dowodu nierówności wiadomo że a^n > n dla a>1 od pewnego n. Z tego tytułu a^√n > √n dla a>1 a zatem

$(\sqrt[4]{3})^{\sqrt{n}}>\sqrt{n}$ podnosząc obustronne do czwartej potęgi otrzymujemy tezę: 3^√n > n²

2 votes Thanks 1

Paawełek No dobra, zapędziłem się w moim uogólnianiu. Po prostu nie uznałem w tym przypadku ze jest to potrzebne. Z mojej nierówności wynika że √n > 2log_3 n czyli 4log²_3 n / n < 1 natomiast granicą lewej strony wynosi 0 co pokazuje prawdę - można to pokazać łatwo z Hospitala korzystając dwa razy - myślę że ten komentarz wyjaśnia wystarczająco, jednak niepotrzebny Taylor :p

Piok Jest to potrzebne bo 3^n^(1/2) nie jest funkcją wykładniczą (pierwiastek w tym przeszkadza), a na tym opierałeś wnioski. DH do ciągu? Ciągu się nie da różniczkować. Co najwyżej można rozważyć ogólniejszą granicę (funkcji), a potem powołać się na def. Heinego. I tym sposobem załataliśmy wszystkie luki.

Paawełek Ciąg pokrywa się z funkcją, więc skoro dla funkcji jest to prawdziwe to tym bardziej dla ciągu, przynajmniej dla mnie :p

Paawełek i funkcja ta jest ciągła

Piok Zgadza się, jest nawet różniczkowalna. Ale bez stosownego komentarza różniczkowanie ciągu wygląda co najmniej dziwnie. To, że Ty wiesz co masz na myśli, a ja się domyślam nie oznacza, że inny też będą. Pomyślę potem czy nie dało by się zastosować kryteriów zbieżności (całkowe zadziała) może kondensacyjne i Jermakowa też (ale trzeba sprawdzić).

Paawełek Jak najbardziej mogę zedytować i wyjaśnić to dokładnie dlaczego powstała taka nierówność, ale ja jeszcze zastanawiam się czy można to zrobić łatwiej niż granicą :p

Paawełek Spróbowałem najprościej jak się da to wyjaśnić i to co napisałem myślę że już można przyjąć jako pewnik

Piok Teraz jest znacznie lepiej. Oczywiście dalej dyskusyjne jest kwestia "oczywistości" faktu, że funkcje wykładnicze szybciej dążą do nieskończoności niż dowolne wielomiany. Ale jeśli uznamy to za znany fakt to jest ok. Tylko tan fakt często i tak udowadnia się w oparciu o jakieś granice itp.

Paawełek Chyba we wszystkich zadaniach widać już że fakt ten funkcjonuje jako aksjomat. Ja po prostu staram się tych granic i tego wszystkiego unikać w swoich rozwiązaniach bo po prostu moim celem jest żeby moje rozwiązanie wykorzystywało jak najprostsze i najłatwiejsze własności. Niechże tu również ten fakt pozostanie aksjomatem:)