Oblicz, czy dany szereg jest zbieżny czy rozbieżny, tylko dwa szeregi.... Question from @kamil2001i

kamil2001i @kamil2001i

June 2022 1 35 Report

Oblicz, czy dany szereg jest zbieżny czy rozbieżny, tylko dwa szeregi

gervenor

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \sin\frac{1}{n}\text{tg}\,\frac{1}{n} \right)$

Jest to szereg o składnikach dodatnich.

Korzystamy z nierówności

$\sin x$

Bierzemy pod uwagę równość

$\lim\limits_{{ x}\rightarrow 0} \frac{\text{tg}\,x}{x}=1$

Mamy stąd

$\lim\limits_{{ n}\rightarrow \infty} \frac{\text{tg}\,\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1$

A więc dla dowolnego $\varepsilon>0$ możemy znaleźć takie N, że

$1-\varepsilon$ dla n>N

Przyjmijmy $\varepsilon=1$ , dla n>N mamy

$\frac{\text{tg}\,\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}$

$\sin\frac{1}{n}\text{tg}\,\frac{1}{n}$

Szereg $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^2}$ jest szeregiem harmonicznym rzędu $\alpha=2>1$ , zatem jest szeregiem zbieżnym.

Stąd na podstawie kryterium porównawczego szereg $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \sin\frac{1}{n}\text{tg}\,\frac{1}{n} \right)$ też jest szeregiem zbieżnym.

2 votes Thanks 1

kamil2001i Przepraszam, ale czy w epsilon można podstawić każda liczbę?

gervenor tak

gervenor dowolną większą od zera

kamil2001i Dziękuję, jesteś najlepszy, dzięki Tobie będę miał bardzo dobry start na studia

gervenor nie wiem czy jestem najlepszy, wiem tylko, że lubię czasem porozwiązywać zadania

Piok Rozwiązanie jest oczywiście porwane ale można je znacznie skrócić. Skoro i tak korzystamy z faktu, że tgx/x dąży do 1 dla małych x to można od razu skorzystać z kryterium ilorazowym z szeregiem 1/n^2 (który jest oczywiście zbieżny).