Question

Oblicz, czy dany szereg jest zbieżny bądź rozbieżny​

Answer 1

Najpierw zauważ że sin (1/n) * cos²(1/n)= sin(1/n) * cos(1/n) * cos(1/n) = 1/2 sin(2/n)cos(1/n) - wzięliśmy to ze wzoru na sin(2x)=2sin x cos x.

Dalej zauważ że granica n sin(2/n) przy n dążącym do nieskończoności to granica sin(2/n)/(1/n) = sin(2/n)/(2/n) * 1/(1/2) = 1*2=2.

A zatem funkcja n sin(2/n) zbliżać się nam będzie dwójki zatem tym bardziej będzie większa od jedynki od pewnego n>a. Skąd już mamy:

n sin(2/n) > 1 /:n

sin(2/n) > 1/n

teraz 1/2cos(1/n) - tu już łatwo gdyż cos(1/n) przy n->∞ dąży nam do cos 0 = 1 a więc 1/2cos(1/n) będzie dążyło do 1/2 więc na pewno będzie większe np. od 1/4 od pewnego n>a skąd mamy:

1/2 cos(1/n)>1/4

Zestawiając:

1/2 cos(1/n) * sin(2/n) > 1/4 * 1/n = 1/(4n)

ponieważ po prawej stronje mamy rozbieżny szereg to Twój również będzie rozbieżny na podstawie kryterium porównawczego :)