Oblicz całki:a) b) Z GÓRY DZIĘKUJĘ :).... Question from @aniak1619

aniak1619 @aniak1619

October 2018 1 18 Report

Oblicz całki:

a) $\int{}\, \frac{cos^{4}x}{sin^{3}x}dx$

b) $\int{sin^{6}xcos^{2}x}\, dx$

Z GÓRY DZIĘKUJĘ :)

Feanir

Spróbujmy ruszyć tę całkę przez części (nie wyjdzie, ale nasunie się przyjemny wniosek):

$\int\frac{\cos^4(x)}{\sin^3(x)}dx=\int\frac{\sin(x)\cos^4(x)}{\sin^4(x)}=$

$=\left[\begin{array}{cc} f'(x)=\sin(x)\cos^4(x)&f(x)=-\frac{1}{5}\cos^5(x)\\ g(x)=\frac{1}{\sin^4(x)}&g'(x)=-4\frac{\cos(x)}{\sin^5(x)} \end{array}\right]=$

$=-\frac{1}{5}\frac{\cos^5(x)}{\sin^4(x)}-\frac{4}{5}\int\frac{\cos^6(x)}{\sin^5(x)}dx$

Widzimy zatem, iż potęga w mianowniku i liczniku zwiększyła się o 2 oraz mamy dodatkowe ściśleokreślone stałe. W takim razie:

$\int\frac{\cos^2(x)}{\sin(x)}dx=-\frac{1}{3}\frac{\cos^3(x)}{\sin^2(x)}-\frac{2}{3}\int\frac{\cos^4(x)}{\sin^3(x)}dx$

czyli:

$\int\frac{\cos^4(x)}{\sin^3(x)}dx=-\frac{1}{2}\frac{\cos^3(x)}{\sin^2(x)}-\frac{3}{2}\int\frac{\cos^2(x)}{\sin(x)}dx$

Całkę, która nam została możemy rozwalić z klasycznego podstawienia trygonometrycznego:

$\sin(x)=\frac{2\tan(\frac{x}{2})}{1+\tan^2(\frac{x}{2})}\\ \\ \cos(x)=\frac{1-\tan^2(\frac{x}{2})}{1+\tan^2(\frac{x}{2})}\\ \\ \tan(\frac{x}{2})=t \\ \\ dx=\frac{2}{1+t^2}dt$

Po podstawieniu

$\int\frac{\cos^2(x)}{\sin(x)}dx=\int\frac{(1+t^2)(1-t^2)^2}{2t(1+t^2)}dt=\int\frac{t^4-2t^2+1}{2t(1+t^2)^2}dt=I$

Pozostaje zastosować rozkład na ułamki proste i obliczyć całeczkę:

$\frac{t^4-2t^2+1}{2t(1+t^2)^2}=\frac{A_1}{2t}+\frac{B_1t+C_1}{1+t^2}+\frac{B_2t+C_2}{t^4+2t^2+1}=\\= \frac{A_1t^4+2A_1t^2+A_1+2B_1t^4+2B_1t^2+2C_1t^3+2C_1t+2B_2t^2+2C_2}{2t(1+t^2)^2}\Rightarrow\\ \Rightarrow \begin{cases} A_1=1\\ 2C_1+2C_2=0\\ 2A_1+2B_1+2B_2=-2\\ 2C_1=0\\ A_1+2B_1=1 \end{cases}\iff \begin{cases} A_1=1\\ B_1=0\\ B_2=-2\\ C_1=0\\ C_2=0 \end{cases}\Rightarrow\\ \Rightarrow \frac{t^4-2t^2+1}{2t(1+t^2)^2}=\frac{1}{2t}+\frac{-2t}{t^4+2t^2+1}$

Wraacając do całki:

Kończąc ten podpunk wszystko zbieramy i mamy:

$\int\frac{\cos^4(x)}{\sin^3(x)}dx=-\frac{1}{2}\frac{\cos^3(x)}{\sin^2(x)}-\frac{3}{4}\log(\tan(\frac{x}{2}))+\\+ \frac{3}{4\tan^2(\frac{x}{2})+4}+C_3$

Od razu mówię, że mogłem się machnąć przy rozkładzie na ułamki proste, należałoby jeszcze to sprawdzić. C3 to oczywiście stała, której nie chciało mi się pisać przez całą zabawę z całką nieokreśloną. Tan to oczywiście tangens, zaś log to logarytm naturalny - po prostu w tutejszym latexu jest zapis angielski.

Tę całkę właściwie robi się przez części, jakgdyby rekurencyjnie. Warto zauważyć związek, iż:

$\int\sin^n(x)\cos^m(x)=\\ =\left[\begin{array}{cc} f'(x)=\sin^n(x)\cos(x)&f(x)=\frac{1}{n+1}\sin^{n+1}(x)\\ g(x)=\cos^{m-1}(x)&g'(x)=-m\sin(x)}\cos^{m-2}(x) \end{array}\right]=\\ =\frac{1}{n+1}\sin^{n+1}(x)\cos^{m-1}(x)+\int\frac{m}{n+1}\sin^{n+2}(x)\cos^{m-2}(x)dx$

Właściwie wystarcza to zastować tylko raz, ale ten wzór jest przydatny przy takich całkach :)

W zastosowaniu do całki dostaniemy z niego:

$\int\sin^6(x)\cos^2(x)dx=\frac{1}{7}\sin^7(x)\cos(x)+\frac{2}{7}\int\sin^8(x)dx$

W tym momencie wystarczy skorzystać z następujących zależności trygonometrycznych:

$\sin^4(x)=\frac{\cos(4x)-4\cos(2x)+3}{8}\\ \\ \cos(x)\cos(y)=\frac{\cos(x-y)+\cos(x+y)}{2}$

i obliczamy:

$\sin^8(x)=\left(\frac{\cos(4x)-4\cos(2x)+3}{8}\right)^2=\\ \\=\frac{\cos^2(4x)+16\cos^2(2x)+9-8\cos(4x)\cos(2x)+6\cos(4x)-8\cos(2x)}{64}=\\ \\=\frac{1+\cos(8x)+1+16\cos(4x)+18-8\cos(2x)-8\cos(6x)+12\cos(4x)-16\cos(2x)}{128}=\\ \\ =\frac{\cos(8x)}{128}+\frac{5-6\cos(2x)+7\cos(4x)-2\cos(6x)}{32}$

Podstawiamy uzyskany wynik pod sinusa w całce, i całkujemy.

$\int\sin^6(x)\cos^2(x)dx=\frac{1}{7}\sin^7(x)\cos(x)+\frac{1}{3584}\sin(8x)-\frac{1}{336}\sin(6x)+\\ \\+\frac{1}{64}\sin(4x)-\frac{3}{112}\sin(2x)+\frac{5}{112}x$

Teoretycznie, można byłoby rozłożyć jeszcze pierwszy wyraz z sinusem do potęgi 7, ale myślę, że to nie jest konieczne, no chyba, że rozkładasz stan kwantowy w bazie stanów własnych ;) Ponadto zastrzegam, że mogłem się pomylić w liczbach i warto te rozwiąznie samemu sprawdzić :)