Question

Oblicz całke x^2+y^2+4x-6y+2 gdzie D{(x,y)} : x^2+y^2 mniejsze lub równe 4 , x mniejsze lub równe 0 , y większe lub równe zero .

Answer 1

Pierwszym krokiem jest uzupełnienie wyrażenia x^2 + 4x i y^2 - 6y poprzez dodanie i odjęcie odpowiednich wartości, aby móc skończyć kwadraty. Otrzymujemy:

x^2 + 4x + 4 - 4 + y^2 - 6y + 9 - 9 + 2

Następnie możemy zapisać wyrażenie jako sumę trzech kwadratów:

(x + 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 + 7

Dzięki temu możemy uprościć wyrażenie do:

(x + 2)^2 + (y - 3)^2 - 6

Aby obliczyć całkę, musimy zintegrować wyrażenie (x + 2)^2 + (y - 3)^2 - 6 po D{(x,y)}. Skoro D{(x,y)} to koło o promieniu 2 z centrum w punkcie (0,3), możemy skorzystać z polarnych współrzędnych. Otrzymujemy:

∫(0,2π) ∫(0,2) [(r cosθ + 2)^2 + (r sinθ - 3)^2 - 6] r dr dθ

Po rozwiązaniu całki otrzymujemy:

(416π - 60)/3

Ostatecznie, wartość całki wynosi (416π - 60)/3.

Answer 2

Verified answer

Odpowiedź:

Rozwiązanie w załączniku

Szczegółowe wyjaśnienie:

Kolejność postępowania:

1) wyznaczenie (na podstawie danych opisowych dotyczących obszaru D) faktycznego obszaru Δ, tj. części wspólnej obszarów:

a) wnętrza koła o promieniu R = 2, opisanego równaniem: x² + y² ≤ 4;

b) ujemnego zakresu wartości "x" z uwagi na: x≤ 0;

c) dodatniego zakresu wartości "y" z uwagi na y≥0;

Obszarem całkowania Δ jest więc ćwiartka koła zlokalizowana w II ćwiartce układu współrzędnych kartezjańskich.

2) zmiana współrzędnych ze współrzędnych kartezjańskich na biegunowe;

a) x = R*cosφ

b) y = R*sinφ

c) Jakobian przekształcenia: J = R

3) ustalenie (dla nowych współrzędnych) granic obszaru całkowania dla obszaru Δ - na podstawie rysunku:

a) π/2≤φ≤π

b) 0≤R≤2

4) zapis całki podwójnej po obszarze Δ z uwzględnieniem granic całkowania po: φ i R wraz z zamianą funkcji podcałkowej: x² + y² + 4x - 6y + 2 ze współrzędnych kartezjańskich na współrzędne biegunowe, czyli na postać: R²*cos²φ + R²*sin²φ + 4*R*cosφ - 6*R*sinφ + 2

5) obliczenie całki po dR (co do postaci i wartości w granicach całkowania);

6) obliczenie całki po dφ (co do postaci i wartości w granicach całkowania)