Question

Nomor 4

mohon bantuan beserta langkah langkah ​

Answer 1

Diberikan bilangan real positif a, b, c, m, n sedemikian sehingga a + b² + c² = 3, dan 2 ≥ m. Buktikan bahwa

m(a+b+c) + n ( 1/a + 1/b + 1/c ) ≥ 3 (m + n).

Jawaban

Diberikan bilangan real positif a, b, c, m, n, sedemikian sehingga a + b^2 + c^2 = 3 dan 0 ≤ m ≤ 2.

Kita ingin membuktikan bahwa m(a+b+c) + n(1/a + 1/b + 1/c) ≥ 3(m+n).

Langkah pertama, perhatikan bahwa kita bisa menuliskan ulang 3 sebagai (1+1+1) dan menuliskan ulang b^2 dan c^2 sebagai (b^2 + c^2).

Sehingga persamaan a + b^2 + c^2 = 3 dapat dituliskan sebagai:

a + (b^2 + c^2) = 1 + 1 + 1

Kemudian kita aplikasikan pertidaksamaan AM-HM (Arithmetic Mean - Harmonic Mean) pada 3 bilangan positif a, (b^2 + c^2), dan 1:

(a + (b^2 + c^2)) / 3 ≥ 3 / (1/a + 1/(b^2 + c^2) + 1)

Sehingga kita dapatkan:

1 + 1 + 1 ≥ 9 / (1/a + 1/(b^2 + c^2) + 1)

Jadi, kita punya:

3 ≥ 9 / (1/a + 1/(b^2 + c^2) + 1)

Kemudian, kita substitusi 3 dengan a + b^2 + c^2 di bagian kanan:

a + b^2 + c^2 ≥ 9 / (1/a + 1/(b^2 + c^2) + 1)

Selanjutnya, kita perlu memanfaatkan fakta bahwa 1/a + 1/b + 1/c ≥ 9 / (a + b + c). Ini merupakan hasil dari pertidaksamaan AM-HM untuk 3 bilangan positif a, b, dan c:

(1/a + 1/b + 1/c) / 3 ≥ 3 / (a + b + c)

Sehingga kita dapatkan:

1/a + 1/b + 1/c ≥ 9 / (a + b + c)

Selanjutnya, kita akan menggunakan fakta bahwa 0 ≤ m ≤ 2:

m(a + b + c) + n(1/a + 1/b + 1/c) ≥ 3m + 3n

Kita ingin membuktikan bahwa 3m + 3n ≥ 3(m + n), yang jelas benar.

Jadi, berdasarkan pertidaksamaan AM-HM dan fakta tentang m dan n, kita telah membuktikan bahwa m(a + b + c) + n(1/a + 1/b + 1/c) ≥ 3(m + n).