Question

Nierówności kwadratowe:

1) x²-6x+8≥0
2) 2x²+x-6>0
3) -x²+x+12>0
4) -x²+6x-9≥0
5) x²+4x+5>0

Answer 1

Odpowiedź:

1)

x² - 6x + 8  ≥ 0

Obliczamy miejsca zerowe

x² - 6x +  8 =0

a = 1 , b = - 6 , c = 8

Δ = b² - 4ac = (- 6)² - 4 * 1 * 8  = 36 - 32  = 4

√Δ  = √4 = 2

x₁ = (- b - √Δ)/2a = (6  - 2)/2  = 4/2  = 2

x₂ = (- b + √Δ)/2a = (6 +2)/2 = 8/2 = 4

a > 0 więc ramiona paraboli skierowane do góry , a wartości większe od 0 znajdują się nad osią OX

x ∈ (- ∞ , 2  > ∪ < 4  , + ∞  )

2)

2x² + x - 6 > 0

Obliczamy miejsca zerowe

2x² + x - 6 = 0

a = 2 , b = 1 , c = - 6

Δ = b² - 4ac = 1² - 4 * 2 * (- 6) = 1 + 48 =  49

√Δ  = √49 = 7

x₁ = (- b - √Δ)/2a = (- 1 - 7)/4 = - 8/4 = - 2

x₂ = (- b + √Δ)/2a = ( - 1 + 7)/4 = 6/4 = 1 2/4 = 1 1/2

a > 0 więc ramiona paraboli skierowane do góry , a wartości większe od 0 znajdują się nad osią OX

x ∈ (- ∞ , - 2 ) ∪ ( 1 1/2 , + ∞ )

3)

- x² + x + 12 >  0

Obliczamy miejsca zerowe

- x² + x +  12 = 0

a = - 1 , b = 1 , c = 12

Δ = b² - 4ac = 1² - 4 * (- 1) * 12 = 1 + 48 = 49

√Δ  = √49 = 7

x₁ = (- b - √Δ)/2a = (- 1 - 7)/(- 2) = - 8/(- 2) = 8/2 = 4

x₂ = (- b + √Δ)/2a = (- 1 + 7)/(- 2) = - 6/2 = - 3

a < 0 więc ramiona paraboli skierowane do dołu , a wartości większe od 0 znajdują się nad osią OX

x ∈ ( - 3 , 4 )

4)

- x² + 6x - 9 ≥ 0

Obliczamy miejsca zerowe

- x² + 6x - 9 = 0

a = - 1 , b = 6 , c = - 9

Δ = b² - 4ac = 6² - 4 * (- 1)  * ( - 9) = 36 - 36  = 0

x₁ = x₂ = - b/2a = - 6/(- 2) = 3/2 = 1 1/2

a < 0  więc ramiona paraboli skierowane do dołu , jedno miejsce zerowe , więc :

x = 1 1/2

5)

x² + 4x + 5 > 0

Obliczamy miejsca zerowe

x² + 4x + 5 = 0

a = 1 , b  = 4 , c = 5

Δ = b² - 4ac = 4² - 4 * 1 * 5  = 16 - 20 = - 4

a >  0 i Δ < 0 więc brak miejsc zerowych , a parabola z ramionami do góry leży całkowicie nad osią OX ; wyrażenie dla x ∈ R przyjmuje tylko wartości większe od 0

x ∈ R

Answer 2

1) x² – 6x + 8 ≥ 0

x² – 6x + 9 – 1 ≥ 0

(x – 3)² – 1 ≥ 0

(x – 3)² ≥ 1

|x – 3| ≥ 1

x – 3 ≥ 1 ∨ x – 3 ≤ –1

x ≥ 4 ∨ x ≤ 2

x ∈ (–∞, 2⟩ ∪ ⟨4, ∞)

2) 2x² + x – 6 > 0

x² + 0,5x – 3 > 0

x² + 0,5x + 0,0625 – 3,0625 > 0

(x + 0,25)² – 3,0625 > 0

(x + 0,25)² > 3,0625

|x + 0,25| > 1,75

x + 0,25 > 1,75 ∨ x + 0,25 < –1,75

x > 1,5 ∨ x < –2

x ∈ (–∞, –2) ∪ (1,5; ∞)

3) –x² + x + 12 > 0

x² – x – 12 < 0

x² – x + 0,25 – 12,25 < 0

(x – 0,5)² – 12,25 < 0

(x – 0,5)² < 12,25

|x – 0,5| < 3,5

x – 0,5 < 3,5 ∧ x – 0,5 > –3,5

x < 4 ∧ x > –3

x ∈ (–3, 4)

4) –x² + 6x – 9 ≥ 0

x² – 6x + 9 ≤ 0

(x – 3)² ≤ 0

|x – 3| ≤ 0

x – 3 ≤ 0 ∧ x – 3 ≥ 0

x ≤ 3 ∧ x ≥ 3

x = 3

5) x² + 4x + 5 > 0

x² + 4x + 4 + 1 > 0

(x + 2)² + 1 > 0

(x + 2)² > –1

Nie można tego spierwiastkować, ponieważ w dziedzinie liczb rzeczywistych nie istnieje √–1. Można jednak zauważyć, że wyrażenie po lewej stronie jest zawsze dodatnie, niezależnie od x (bo jest podniesione do kwadratu), a wyrażenie po lewej jest ujemne. Powstaje nam nierówność dodatnie > ujemne, a to jest zawsze prawdziwe.

x ∈ R