Question

Nierówności kwadratow, rozwiąż

a)2x^2 - 5|x|większe lub równe 3

b) x^2 - 2|x-4| < 0

Answer 1

a)  2x²-5|x|≥3

2x²-5|x|-3≥0

I przypadek

dla x∈(-∞,0)

2x²-5*(-x)-3≥0

2x²+5x-3≥0

Δ=b²-4ac=5²-4*2*(-3)=25+24=49

√Δ=7

x₁=(-b-√Δ)/2a=(-5-7)/2*2=-3

x₂=(-b+√Δ)/2a=(-5+7)/2*2=1/2

x∈(-∞,-3>u<1/2,∞)

ale musimy uwzględnić początkowy warunek, że x∈(-∞,0), stąd

x∈(-∞,-3>

 

II przypadek

dla x∈<0,∞)

2x²-5*x-3≥0

Δ=25+24=49

√Δ=7

x₁=(5-7)/4=-1/2

x₂=(5+7)/4=3

x∈(-∞,-1/2>u<3,∞)

ale uwzględniamy początkowy warunek, że x∈<0,∞) i otrzymujemy

x∈<3,∞)

 

teraz sumujemy odpowiedzi z obu przypadków i otrzymujemy

x∈(-∞,-3>u<3,∞)

 

 

b) x²-2|x-4|<0

 

I przyadek

dla x∈(-∞,4)

x²-2*(-(x-4))<0

x²+2x-8<0

Δ=4+32=36

√Δ=6

x₁=(-2-6)/2=-4

x₂=(-2+6)/2=2

x∈(-4,2)

ale nie możemyzapomnieć o warunku, że x∈(-∞,4) i stąd dopiero otrzymujemy, że

x∈(-4,2)

 

II przypadkek

dla x∈<4,∞)

x²-2*(x-4)<0

x²-2x+8<0

Δ=4-32=-28<0

brak pierwiastków

po narysowaniu funkcji można zobaczyć, że nierówność nie ma rozwązań

x∈(do zbioru pustego)

 

sumujemy rozwiązania z obydwu przypadków i otrzymujemy, że

x∈(-4,2)