Question

niech y=F(m) bedzie funkcja okreslajaca wartosc iloczynu roznych pierwiastkow rownania x^2-2x+m^2+4m+1=0 w zaleznosci od parametru m

a) podaj dziedzinę funkcji f

b)dla jakkiej wartosci parametru m funkcja f osiąga wartosc najmniejsza

c) wyznacz pierwiastki rownania tak aby ich iloczyn byl najmniejszy

Answer 1

² - 2x + m² + 4m + 1 = 0

dziedzina:
Δ ≥ 0 - istnieją pierwiastki rzeczywiste
4 - 4(m² + 4m + 1) ≥ 0 |:(- 4)
m² + 4m ≤ 0
m(m + 4) ≤ 0
m ∈ <- 4, 0>

ze wzorów viete'a:
f(m) = (m² + 4m + 1)/1 = m² + 4m + 1
funkcja ma współczynnik przy najwyższej potędze m równy 1 > 0, czyli ramiona paraboli są skierowane do góry i minimum funkcja osiąg dla m wierzchołka (jeżeli tylko ten punkt należ do dziedziny, w przeciwnym wypadku jest to bliższy wierzchołkowi kraniec dziedziny):
m_min = - 4 / 2 = - 2 ∈ D

czyli funkcja osiąga minimum dla m =- 2:
x² - 2x + m² + 4m + 1 = 0
x² - 2x + 4 - 8 + 1 = 0
x² - 2x - 3 = 0
Δ = 4 + 12 = 4*4
x₁ = (2 + 4)/2 = 3
x₂ = (2 - 4)/2 = - 1