Question

Niech X=Z\{0}. Relacja ro zawarta X*X określona wzorem
k ro l <=>[k*l>0 i (-1)^(k+l) >0]
a) sprawdzić czy ro jest relacją równoważności w zbiorze X.
b) jeśli tak opisać klasy abstrakcji [2],[-1] relacji ro.

Answer 1

Niech X=Z\{0}. Relacja ro zawarta X*X określona wzorem
k ro l <=>[k*l>0 i (-1)^(k+l) >0]
a) sprawdzić czy ro jest relacją równoważności w zbiorze X.
b) jeśli tak opisać klasy abstrakcji [2],[-1] relacji ro.


zamiast pisać a ro b, będę pisał znaczek ~, czyli:
a ~ b

Trzeba sprawdzić 3 warunki:
* a~a
* a~b <=> b~a
* a~b i b~c => a~c

* a~a
a~a bo a*a>0 (a nie mogło być zerem) oraz
(-1)^(a+a) = (-1)^(2a) = ((-1)^2)^a = 1^a = 1 > 0

* a~b <=> b~a
To jest oczywiste, bo w definicji [k*l>0 i (-1)^(k+l) >0] literki k i l można zamienić rolami i dostajemy dokładnie taki sam warunek

* a~b i b~c => a~c
Zakładamy, że a~b i b~c, czyli
a*b>0
b*c>0
ponadto b*b>0
Niech X = a*b, Y = b*c, Z = b*b
X>0, Y>0, Z>0
X*Y/Z > 0
0 < X*Y/Z = a*b*b*c/(b*b) = a*c, czyli a*c > 0

(-1)^(a+b) > 0
(-1)^(b+c) > 0 i mnożąc stronami
(-1)^(a+b+b+c) > 0, ale
(-1)^(a+b+b+c) = (-1)^(2b+a+c) = ((-1)^(2b)) * (-1)^(a+c) = (((-1)^2)^b) * (-1)^(a+c) = (1^b) * (-1)^(a+c) = (-1)^(a+c)

b)
Jakie są klasy tej relacji...
Trzeba sobie odpowiedzieć na pytanie, jakie elementy są ze sobą w relacji?
Pierwszy warunek (a*b>0) mówi na, że dwie liczby są w relacji, jeżeli są tego samego znaku...
Czyli pierwszy podział klas abstrakcji mamy na liczby ujemne oraz dodatnie....
Drugi warunek ((-1)^(a+b)>0) mówi nam tyle, że liczba a+b musi być parzysta, czyli innymi słowy, że liczby a i b muszą być tej samej parzystości...
To daje nam podział na kolejne klasy abstrakcji... liczby parzyste i nieparzyste....

Zatem w ogóle mamy 4 klasy abstrakcji:
A = liczby dodatnie parzyste
B = liczby dodatnie nieparzyste
C = liczby ujemne parzyste
D = liczby ujemne nieparzyste

Łatwo sprawdzić, że dwie liczby należące do pewnego ze zbiorów A, B, C, D są ze sobą w relacji...

pytano o klasy abstrakcji liczb 2 oraz -1
[2] = A - liczby dodatnie parzyste
[-1] = D - liczby ujemne nieparzyste