Question

Niech w będzie wielomianem trzeciego stopnia, którego jedynymi pierwiastkami są liczby 1 i -3. reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian x+2 jest równa 18, a reszta z dzielenia przez x-2 jest równa 10. znajdź wyraz wolny

Answer 1

Więc tak:
W(1)=0
W(-3)=0
W(-2)=18
W(2)=10

wiemy, że wielomian trzeciego stopnia ma postać: ax³+bx²+cx+d

tak więc mamy 4 równania:
a*1³+b*1²+c*1+d=0
a(-3)³+b(-3)²+c(-3)+d=0
a(-2)³+b(-2)²+c(-2)+d=18
a*2³+b*2²+c*2+d=10

po wyliczeniu mamy coś takiego:
a+b+c+d=0
-27a+9b-3c+d=0
-8a+4b-2c+d=18
8a+4b+2c+d=10

wystarczy to rozwiązać... najlepiej metodą wyznaczników, ale jako, że w liceum jej nie ma to robimy to ręcznie... dodajmy trzecie i czwarte równanie do siebie to otrzymamy
8b+2d=28 |:2
4b+d=14

można spokojnie już uzależnić d od b... zrobimy to ze wszystkimi współczynnikami:
d=14-4b
wstawmy to do ostatniego równania:
8a+4b+2c+14-4b=10
8a+2c+14=10
8a+2c=-4 |:2
4a+c=-2
c=-2-4a

obie wyliczone wartości (c i d) wstawmy do równania pierwszego:
a+b+c+d=0
a+b+-2-4a+14-4b=0
-3a-3b+12=0 |:-3
a+b=4
a=4-b

mamy już:
a=4-b
b=b
d=14-4b
c=-2-4a --> c=-2-4(4-b)=-2-16+4b=-18+4b

teraz wystarczy to wszystko gdzieś wstawić... dajmy do równania drugiego, którego właściwie nie używaliśmy:
-27a+9b-3c+d=0
-27(4-b)+9b-3(-18+4b)+14-4b=0
-108+27b+9b+54-12b+14-4b=0
20b-40=0
20b=40 |:20
b=2

skoro wiemy ile równa się b to mamy wszystko:
a=4-b --> a=2
b=2
c=-18+4b --> c=-10
d=14-4b --> d=6

tak więc wyraz wolny (d) równa się 6