Niech n będzie liczbą naturalną parzystą, p- liczbą pierwszą. Udowodnij, że wartości wielomianu W(x).... Question from @Natalia654321

December 2018 1 15 Report

Niech n będzie liczbą naturalną parzystą, p- liczbą pierwszą. Udowodnij, że wartości wielomianu W(x)= $(1-x)^{n}$ + $(1+x)^{n}$ dla x= $\sqrt{p}$ są liczbami naturalnymi.

Paawełek Ze wzoru skróconego mnożenia:

$(1+x)^n={n\choose 0}x^0 + {n\choose 1}x^1+{n\choose 2}x^2+...+{n\choose n}x^n \\ \\ (1-x)^n={n\choose 0}x^0-{n\choose 1}x^1+{n\choose 2}x^2-...+{n\choose n}x^n \\ \\ \hbox{Zauwazam, ze nieparzysta potega jest ujemna w jednym wyrazeniu} \\ \\ \hbox{a dodatnia w drugim. stad:} \\ \\ (1-x)^n + (1+x)^n= 2{n\choose 0}x^0 + 2{n\choose 2}x^2+2{n\choose 4}x^4+...+2{n\choose n}x^n \\ \\ \hbox{jestli n jest nieparzyste ostatnim skladnikiem jest} \ \ 2{n-1\choose n-1}x^{n-1}$

najważniejsze jest to, że iksy są do potęgi parzystej. Dwumiany Newtona są ZAWSZE liczbą naturalne. Teraz wyjazuję że każde iksy do potęg parzystych są naturalne:

$n=2k \qquad k\in\mathbb{N} \\ \\ x^n=x^{2k}=(\sqrt{p})^{2k}=\left( (\sqrt{p})^2\right)^k=p^k \in \mathbb{N}$

Stąd udowodniłem że dodajesz same liczby naturalne, więc Twoje wyrażenie jest naturalne nie tylko gdy p jest pierwsze - ale gdy p jest w ogóle naturalne

1 votes Thanks 1