Question

nie radzę sobie z funkcjami dlatego też dodaję całe zadanie, które częściowo zostało już rozwiązane w poprzednich pytaniach, niestety nie potrafię go dokończyć ani pozbierac.

Answer 1

Najpierw zastanówmy się chwile nad wartością bezwzględną. Popatrz, jeśli wartość x jest dodatnia, to wtedy:

 

 

czyli jest to ta sama liczba, a kiedy wartość x jest ujemna, to wtedy:

 

 

Dlatego ponieważ kiedy x jest ujemne to przemnozenie jej przez minus daje liczbę dodatnią, a jak pewnie pamiętasz wartość bezwzlędna oblicza liczbę bez znaku - liczbę dodatnią.

 

a)

 

Zwróć uwagę, że w przedziale od -nieskończoność do -2 wnętrza obu wartości bezwzględnych są ujemne (warto sprawdzić sobie kilka wartości :D). Skoro wiemy, że są ujemne to aby po "wyjściu z wartości bezwzględnej" były dodatnie trzeba je pomnożyć przez -1... W ten sposób otrzymujemy fajną postać funkcji:

 

 

czyli:

 

 

Okazuje się, że w tym przedziale funkcja jest STAŁA!... czyli zbiorem wartości jest jedna liczba!:

 

 

b)

 

Przy rysowaniu wykresu używa się fajnego triku. Najpierw znajdź takie x dla których wnętrze każdej z wartości bezględnych się zeruje.

 

Pierwsza wartość bezwzględna się zeruje dla x = 1.

Druga wartość bezwzględna się zeruje dla x = -2

 

Ustaw wartości po kolei czyli: -2,1

 

Teraz trzeba dobrać jeszcze po jednej wartości na lewo od skrajnej liczby i na prawo. Wybieramy dowolną liczbę na lewo i na prawo... Weźmy sobie -3 (bo jest na lewo od -2) oraz 2 bo jest na prawo od 1... Zapisujemy je po kolei

 

-3, -2, 1, 2

 

Teraz liczymy wartości funkcji w tych punktach:

 

y = f(-3) = 3

y = f(-2) = 3

y = f(1) = -3

y = f(2) = -3

 

Teraz połączmy wyniki w pary (x,y):

 

(-3,3), (-2,3), (1,-3), (2,-3)

 

Teraz już wystarczy tylko na wykresie połączyć te punkty liniami prostymi pamiętając że linie proste przechodzą PRZEZ skrajne punkty, ale ciągną się do nieskończoności. Prezentuje to załączony obrazek.

 

c)

 

Miejsca zerowe to miejsca w których funkcja przyjmuje wartośc 0, czyli tam gdzie przecina się z osią OX. Jak to liczymy?

 

Na początek orientujemy się po wykresie gdzie jest miejsce zerowe... Zobacz, że jest ono w przedziale pomiędzy -2, a 1... W tym przedziale wnętrze pierwszej wartosci bezwzględnej jest ujemne, a drugiej dodatnie, więc możemy przepisać naszą funkcje:

 

 

Zobacz, że pierwszą wartośc bezwzględną zamieniliśmy na wartość jej wnętrza ale z minusem, a druga wartość nie ma minusa (ten minus co jest to ten sam co jest postawiony przed drugą wartością bezwzględną we wzorze, więc jego nie ruszamy)

 

Uprośćmy to:

 

 

Teraz szukamy takich x gdzie f(x) = 0

 

 

 

 

Wyszło nam miejsce zerowe w punkcie x = -1/2 i faktycznie leży na ujemnej stronie osi X i patrząc na wykres mniej więcej tam właśnie się znajduje. Oceniamy więc, że znaleźliśmy to miejsce zerowe poprawnie.

 

d)

 

Aby wyznaczyć wszystkie m dla których f(x) = m nie ma rozwiązania trzeba zastanowić się co to oznacza. m to po prostu liczba... Na wykresie rysujemy ją jako prosta pozioma... Czyli zawsze mamy wartość y = m, bez wzgledu na x... Natomiast f(x) to funkcja i ona się zmienia z x. Równanie ma rozwiązanie kiedy? Ano wtedy kiedy funkcja f(x) przecina się z linią y = m... Oczywiście przecina się tylko wtedy kiedy m nie jest ani za wysoko, ani za nisko... Rozwiązań zaś nie ma wtedy kiedy m jest powyżej 3 i poniżej -3, co można odczytać z wykresu. Zapisujemy więc:

 

Równanie:

 

nie ma rozwiązań dla: