Question

Nie chodzi mi o wyniki same a o rozwiązanie.

1.w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między ścianą boczną a podstawą ostrosłupa ma miarę 30 stopni. oblicz sinus kąta jaki tworzy krawędź boczna tego ostrosłupa z jego podstawą .

2. objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi 72 pierwiastów z 3 cm2 , a H=2cm. oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy.

Answer 1

Zadanie 1
Należy zrobić rysunek pomocniczy ostrosłupa, gdzie:
α = 30stopni, to kąt między ścianą boczną a podstawą
β, to kąt między krawędzią boczną a podstawą

Rozwiązanie:
1) Korzystamy z trójkąta prostokątnego, w którym
h – wysokość ostrosłupa (przyprostokątna, naprzeciw kąta α )
2h – wysokość ściany bocznej (sinus 30 stopni =½)
½ a – połowa krawędzi podstawy (druga przyprostokątna)
Obliczamy h:
tg α = h/(½ a)
h = ½ a * tg α = ½ a * tg 30 stopni = ½ a * (√3/3)
2) Korzystamy z trójkąta prostokątnego, w którym
h – wysokość ostrosłupa (przyprostokątna, naprzeciw kąta β)
b – krawędź boczna (przeciwprostokątna)
c – połowa długości przekątnej kwadratu ( c = ½ a *√2, korzystamy z wzoru na przekątną kwadratu o boku a)
Obliczamy b:
h² + c² = b²
h² + (½ a*√ 2)² = b² (korzystamy z tw. Pitagorasa i wzoru
h = ½ a *(√3/3) )
¼ a² *(√3/3)² + ¼ a² *2 = b²
¼ a² *⅓ + ¼ a² *2 = b²
¼ a² *⁷/₃ = b²
b = ½ a * √(⁷/₃)
Obliczamy sinus β:
sin β = h/b (korzystamy z wcześniejszych obliczeń)
sin β = (½ a *√3/3) / (½ a * √(⁷/₃)) [gdzie ½ a skróci się]
sin β = (√3/3)/ √(⁷/₃)
sin β = 1/ √7(usuwamy niewymierność z mianownika)
sin β = √7/7
Odp. Krawędź boczna z podstawą, tworzy kąt, którego sinus jest równy √7/7

Zadanie 2
Oznaczmy przez α kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy (na rysunku jest to kąt między wysokością ściany bocznej a wysokością podstawy - trójkąta równobocznego).
Będziemy korzystać z trójkąta prostokątnego, w którym:
H wysokość ostrosłupa (przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta α),
⅓ h (h- wysokość trójkąta równobocznego, przyprostokątna leżąca przy kącie α)
Dane:
H=2cm
V=72√3 cm³ objętość ostrosłupa
Szukane:
tg α = H/(⅓ h)
Rozwiązanie:
Obliczamy pole podstawy trójkąta równobocznego:
V=⅓PH, P- pole podstawy (pole trójkąta równobocznego)
P=3V/H=3*72√3 cm³/2cm=108√3 cm²
Obliczamy wysokość trójkąta równobocznego (wzory
P=(a²√3)/4 i h= (a√3)/2)
(a²√3)/4 = 108√3 cm²
a² = [108√3] : [√3/4] = 432
a=√432
h= (a√3)/2=(√432*√3)/2
h=√1296/2 = 36:2 =18
Obliczamy tg α = H/(⅓ h)
tg α = 2/(⅓ *18)=2/6 =1/3, więc tg α ≈ 0,3333....
kąt α≈18,5stopnia