Narysowano sześciokąt foremny ABCDEF o boku długości 6 i punkcie przecięcia dłuższych przekątnych O.... Question from @v0xer

June 2022 1 7 Report

Narysowano sześciokąt foremny ABCDEF o boku długości 6 i punkcie przecięcia dłuższych przekątnych O. Następnie narysowano fragmenty okręgów o środkach w punktach B i D i promieniach długości 6 (łuki AO i EO) oraz fragmenty okręgów o środkach w punktach A i E i promieniach długości |AE| (łuki AC i EC), jak na rysunku obok. Oblicz pole i obwód zamalowanej figury.

unicorn05

|AB| = |AO| = |EO| = |CO| = 6

$|AE|=|AC| = |CE| = 2\cdot\frac{|AB|\sqrt3}{2} = 6\sqrt3$ (krótsza przekątna sześciokąta foremnego to dwie wysokości trójkątów równobocznych, na jakie dzielą ten sześciokąt jego dłuższe przekątne)

$|\angle CAE|=|\angle AEC|=60^o$ (dwie połówki kątów 60°)

$|\angle ABO|=|\angle EDO|=60^o$

P = 2(P₁ + P₂ + P₃)

P₁ to pole odcinka kołowego o kącie 60° (1/6 koła) i promieniu 6√3

P₂ to pole odcinka kołowego o kącie 60° i promieniu 6

P₃ to pole trójkąta o podstawie 6√3 i wysokości 3

L = 2Ł₁ + 2Ł₂

Ł₁ to długość łuku wycinka kołowego o kącie 60° i promieniu 6√3

Ł₂ to długość łuku wycinka kołowego o kącie 60° i promieniu 6

$P_1=\frac16\cdot\pi\cdot(6\sqrt3)^2-\frac{(6\sqrt3)^2\sqrt3}4= 18\pi-27\sqrt3\\\\P_2=\frac16\cdot\pi\cdot6^2-\frac{6^2\sqrt3}4=6\pi-9\sqrt3 \\\\P_3=\frac12\cdot6\sqrt3\cdot3= 9\sqrt3\\\\P=2\cdot(18\pi-27\sqrt3+6\pi-9\sqrt3+9\sqrt3)=\boxed{\ {48\pi-54\sqrt3}\ }\\\\\\ \L_1=\frac16\cdot2\pi\cdot6\sqrt3=2\pi\sqrt3\\\\\L_2=\frac16\cdot2\pi\cdot6=2\pi\\\\L=2\cdot2\pi\sqrt3+2\cdot2\pi=\boxed{\ {4\pi(\sqrt3+1)}\ }$