Question

Napisz równanie płaszczyzny równoległej do prostej p i przechodzącej przez punkty A(1,23) B(0,0,0) p: 3x+y=0 2x-3z=5

Answer 1

Weźmy dwa dowolne punkty z prostej p. Wstawmy np. z=1, wtedy otrzymamy x=4 i y=-12. Z kolei po podstawieniu z=3 dostaniemy x=7 oraz y=-21.

To oznacza, że prosta p przechodzi przez punkty:  i .

Wobec tego jej wektorem kierunkowym jest:


Skoro nasza płaszczyzna ma być równoległa do prostej p, to będzie na niej leżał także taki punkt E, że , czyli



Na naszej płaszczyźnie leżą punkty A,B,E, możemy więc wykorzystać wzór z równaniem płaszczyzny przechodzącej przez 3 punkty:



Po zastosowaniu rozwinięcia Laplace'a względem trzeciego wiersza, uzyskamy uproszczony zapis:



Wyznacznik po rozpisaniu (np. metodą Sarrusa) przyjmie postać:



i to jest właśnie poszukiwane równanie naszej płaszczyzny w postaci ogólnej.