Napisz rownania stycznych do okręgu x2+y2-2x+6y-3=0 i prostopadlych do prostej l: 3x - 2y

November 2018 1 15 Report

Napisz rownania stycznych do okręgu x2+y2-2x+6y-3=0 i prostopadlych do prostej l: 3x - 2y - 12= 0.

Roma

Dany okrąg:

$x^2+y^2-2x+6y-3=0 \\\ x^2 - 2x + 1 + y^2 + 6x + 9 - 10 - 3 = 0 \\\ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 13 = 0 \\\ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 13$

Zatem jest to okrąg o środku S = (1; - 3) i promieniu r = √13

Szukane styczne y = ax + b mają być prostopadłe do prostej l:

$3x - 2y - 12= 0 \\\ -2y = - 3x + 12 \ /:(-2) \\\ y = 1,5x - 6$

Wiemy, że proste są prostopadłe wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1.

Stąd:

$y = ax + b \ \perp \ y = 1,5x - 6 \ <=> a \cdot 1,5 = -1 \\\ Zatem: \\\ a \cdot 1,5 = -1 \ /:1,5 \\\ a = - 1 : 1,5 \\\ a = - 1 : \frac{3}{2} \\\ a = - 1 \cdot \frac{2}{3} \\\ a = - \frac{2}{3}$

czyli szukane styczne to porste postaci:

$y = - \frac{2}{3}x + b$

Wiemy, że jeśli prosta jest styczna do okręgu, to ma z okręgiem tylko jeden punkt wspólny, czyli układ równań:

$\left \{ {{y = - \frac{2}{3}x + b} \atop {(x-1)^2+(y+3)^2 = 13}} \right.$

ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie.

Podstawiając do drugiego równania otrzymujemy:

$(x-1)^2+(- \frac{2}{3}x + b+3)^2 = 13 \\\\ (x-1)^2+[(b+3)- \frac{2}{3}x]^2 = 13 \\\\ x^2 - 2x + 1 +(b+ 3)^2 - 2 \cdot (b+3) \cdot \frac{2}{3}x + \frac{4}{9}x^2 = 13 \\\\ x^2 - 2x + 1 +b^2 + 6b + 9 - (b+3) \cdot \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}x^2 - 13 = 0 \\\\ x^2 - 2x + 1 +b^2 + 6b + 9 - \frac{4}{3}bx -4x + \frac{4}{9}x^2 - 13 = 0 \\\\ \frac{13}{9}x^2 - 6x - \frac{4}{3}bx +b^2 + 6b - 3 = 0 \ / \cdot 9 \\\\ 13x^2 - 54x - 12bx + 9b^2 + 54b - 27 = 0 \\\\ 13x^2 -(54 + 12b)x + (9b^2 + 54b - 27) = 0$

To równanie kwadratowe ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie, czyli wyróżnik Δ musi być równy zero, bo dla Δ = 0 równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie, zatem:

$13x^2 -(54 + 12b)x + (9b^2 + 54b - 27) = 0 \\\ \Delta_x = [-(54 + 12b)]^2 - 4 \cdot 13 \cdot (9b^2 + 54b - 27) =(54 + 12b)^2 \\\ - 52 \cdot (9b^2 + 54b - 27) = 2916 + 1296b +144b^2 - 468b^2-2808b\\\ +1404= -324b^2- 1512b+4320$

$\Delta_x = 0 \\\ Zatem: \\\ -324b^2- 1512b+4320 = 0 \ /:(-108) \\\ 3b^2 +14b - 40 =0 \\\ \Delta_b = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 196 + 480 = 676 \\\ \sqrt{\Delta_b} = \sqrt{676} = 26 \\\\ b_1 = \frac{-14-26}{2 \cdot 3} = \frac{-40}{6} = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3} \\\\ b_2 = \frac{-14+26}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$