Question

Napisz równania prostych zawierających pozostałe boki i wysokości trójkąta

A(2;1) B(4;3) C (1;4)

Answer 1

Witaj :)

 

Aby wyznaczyć równanie prostej musimy znać jej conajmniej dwa punkty. Wyznaczmy najpierw równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B.

 

A(2,1)    B(4,3)

 

 

Mamy równanie prostej:  y=ax+b

 

Podstawiamy do niego współrzędne punktu A, następnie B i rozwiązujemy układ rownań obliczając a i b:

 

1=2a+b

3=4a+b     ---> b = 3-4a

 

1=2a+3-4a

-2=-2a  |:(-2)

1=a

 

1=2+b

b = -1

 

Mamy zatem pierwsze równanie prostej AB:  y=x-1

 

 

Teraz obliczmy równanie prostej przechodzącej przez bok BC.

 

B(4,3)    C(1,4)

 

y=ax+b

 

3=4a+b

4=a+b     ----> b = 4-a

 

3 = 4a+4-a

-1=3a   |:3

a = -1/3

 

4=-1/3+b

b=4 i 1/3 = 13/3

 

 

Mamy zatem już drugie równanie prostej BC: y = -1/3x+(13/3)

 

 

Wyznaczmy prostą przechodzącą przez AC:

 

A (2,1)    C(1,4)

 

y=ax+b

 

1=2a+b

4=a+b   ---> b = 4-a

 

1=2a+4-a

-3=a

 

1=-6+b

b=7

 

Mamy równanie trzeciej prostej AC: y=-3x+7

 

 

 

Aby wyznaczyć równania prostych przechodzących przez wysokości trójkąta, musimy najpierw znależć 3 punkty, przez które przechodzi każda wysokość oprócz wierzchołka.

 

Na prostej AB będzie to punkt:  P((3,2)

 

Wyznaczmy od razu rownanie prostej wysokości, która przechodzi przez ten punkt i punkt C(1,4) (zobaczyć to jak narysujesz trójkąt na osiach współrzędnych):

 

y=ax+b

 

2=3a+b 

4=a+b   ----> b=4-a

 

2=3a+4-a

-2=2a   |:2

-1=a

 

2=-3+b

b=5

 

Zatem równanie prostej (wysokości) wynosi:   y=-x+5

 

 

 

Jeśli chodzi o wysokość opuszczoną z punktu B, przejdzie ona na prostej AC przez punkt P2(5/3 , 2)

 

Równanie prostej:

 

P2(5/3, 2)    B(4,3)

 

y=ax+b

 

2=5/3a+b

3=4a+b   ---> b=3-4a

 

2=5/3a+3-4a

-1= -7/3 a  |:(-7/3)

a = 3/7

 

b=9/7

 

Równanie: 3/7x+9/7

 

 

 

Ostatnia wysokość opuszczona z wierzchołka A przechodzi przez punkt P3(3, 10/3) (zobaczyć na osi).

 

Równanie prostej (wysokości)

 

P(3, 10/3)     A(2, 1)

 

y = ax+b

 

10/3 = 3a+b

1=2a+b   ---> b=1-2a

 

10/3 = 3a+1-2a

7/3 = a

b = -11/3

 

Równanie ostatniej prostej:  y=7/3x-11/3

 

 

 

Pozdrawiam ;D