Question

Napisać równanie okręgu wpisanego w trójkąt, którego boki zawarte są w prostych: x+y+12=0; 7x+y=0; 7x-y+28=0.

Proszę o poprawne rozwiązanie, obliczenia oraz myślenie jakie się stosuje kolejno by wykonać owe zadanie, z góry dziękuję!

Answer 1

x+y +12 = 0

7x + y = 0

7x - y +28 = 0

Najpierw należy znaleźć wierzchołki trójkąta ABC

Mamy

x +y + 12 = 0

7x + y = 0

--------------- odejmujemy stronami

7x - x -12 = 0

6x = 12

x = 2

-----

y = -7x = -7*2 = - 14

----------------------------

A = (2; -14)

============

Mamy

7x - y + 28= 0

7x + y = 0

----------------- dodajemy stronami

14x + 28 = 0

14x = -28

x = - 2

-------

y = -7x = -7*(-2) = 14

--------------------------

B = (-2; 14)

============

Mamy

7x - y + 28 = 0

x + y + 12 = 0

-----------------  dodajemy stronami

8x + 40 = 0

8x = -40

x = -5

-------

y = -x - 12 = -(-5) - 12 = 5 - 12 = - 7

-----------------------------------------

C = ( -5; - 7)

============

Teraz trzeba obliczyć pole trójkąta ABC

z wzoru Herona lub z wyznacznika

 

I. Wzór Herona

Obliczamy  długości boków trójkąta

I ABI^2 = (-2-2)^2 + (14 -(-14))^2 = 16 + 28^2 = 16 + 784 = 800 = 400*2

czyli

a = I AB I = 20 p(2)

---------------------------

I BC I^2 = (-5-(-2))^2 + (-7 -14)^2 = 9 + (-21)^2 = 9 + 441 = 450 =225*2

czyli

b = I BC I = 15 p(2)

----------------------

I AC I^2 = (-5 -2)^2 = (-7 -(-14))^2 = 49 + 49 = 49*2

czyli

c = I AC I = 7 p(2)

--------------------

Obwód L

L = a + b + c = 20 p(2) + 15p(2) + 7 p(2) = 42 p(2)

q = L/2 = 21 p(2)

q - a = 21p(2) - 20 p(2) = p(2)

q - b = 21 p(2) - 15 p(2) = 6 p(2)

q - c = 21 p(2) - 7 p(2) = 14 p(2)

 

P = p[ q*(q -a)*(q -b)*(q - c) ] = p [21 p(2)*p(2)*6 p(2)*14 p(2)]

P = p[ 21*6*14*2*2] = p[ 21*24*14] = p [ 7056] = 84

Pole P = 84

==============

p(7056) <-- pierwiastek kwadratowy z 7056

-------------------------------------------------------

II sposób z zastosowaniem wyznacznika

-->

AB = [ -2-2; 14 -(-14)] = [ -4 ; 28 ]

-->

AC = [ -5-2; -7 -(-14) ] = [-7 ; 7 }

Pole P

P = (1/2)*[(-4)*7 - (-7)*28] = (1/2) *[- 4*7 + 28*7] = (1/2) *168 = 84

P = 84

======

Teraz obliczamy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC

ze wzoru

r = P / q = 84 / 21p(2) = 4/p(2) = 2 p(2)

Odp. r = 2 p(2)

===================

p(2) <-- pierwiastek kwadratowy z 2