Najdłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość p i tworzy z przekątną śc.... Question from @FigielX

September 2018 1 62 Report

Najdłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość p i tworzy z przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka kąt o mierze (alfa). Oblicz objetość ostrosłupa. Dla jakich (alfa) zadanie ma rozwiązanie?

Podstawą graniastosłupa prostego o wysokości h jest romb o kącie ostrym (alfa). Krótsza przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt (beta). Oblicz objętość graniastosłupa.

Patryq93

Oznaczmy przez a-długość boku podstawy, b- długość przekątnej ściany bocznej, c-długość odcinka łączącego drugi koniec odcinka b z drugim końcem odcinka p. Zauważmy najpierw, że odcinki p, H(wys. graniastosłupa) oraz 2a(najdłuższa przekątna podstawy) tworzą t. prostokątny. Z tw. Pitagorasa:

$p^2=H^2+(2a)^2=H^2+4a^2$

Podobnie, odcinki b, H oraz a tworzą trójkąt prostokątny i mamy:

$b^2=H^2+a^2$

Co więcej, nietrudno zauważyć, żeodcinek c jest równy dwukrotności długości wysokości trójkąta równobocznego o podstawie a, tzn.

$c=2*\frac{a\sqrt3}2=a\sqrt3=>c^2=3a^2$

Zauważmy teraz, że

$p^2=c^2+b^2$

Wobec twierdzenia odwrotnego do tw. Pitagorasa wnioskujemy, że te odcinki tworzą trójkąt prostokątny. Wynikają z tego zależności:

$c=psin\alpha\\ a\sqrt3=psin\alpha=>a=\frac{psin\alpha}{\sqrt3}\\ p^2=H^2+4a^2<=>H^2=p^2-4a^2=p^2-4(\frac{psin\alpha}{\sqrt3})^2=\\= p^2-\frac{4p^2sin^2\alpha}3=p^2(1-\frac{4sin^2\alpha}3)\\ H=p\sqrt{1-\frac{4sin^2\alpha}3}\\ V=P_pH=6*\frac{a^2\sqrt3}4*H=\\=\frac{3\sqrt3*(\frac{psin\alpha}{\sqrt3})^2}2*p\sqrt{1-\frac{4sin^2\alpha}3}=\frac{\sqrt3*p^3sin^2\alpha}2*\sqrt{1-\frac{4sin^2\alpha}3}$

Oczywiście, kąt x nie może być zerowy, półpełny ani pełny(bo wtedy V=0). Co więcej, z wykonywalności pierwiastkowania wynikają dalsze ograniczenia na wartość kąta:

$1-\frac{4sin^2\alpha}3>0\\ sin^2\alpha<\frac34\\ |sin\alpha|<\frac{\sqrt3}2\\ sin\alpha<\frac{\sqrt3}2\ i\ sin\alpha>-\frac{\sqrt3}2$

Rozważamy tylko kąty z przedziału (0; 90)(mieliśmy do czynienia z t. prostokątnym), więc ostatecznie x musi należeć do przedziału (0; 60) [w stopniach]

Niech a-bok rombu, e-krótsza przekątna rombu, p-krótsza przekątna graniastosłupa.

Odcinki e, p oraz h tworzą t. prostokątny.

Zatem:

$\frac{h}{e}=tg\beta=>e=\frac{h}{tg\beta}\\ e^2=a^2+a^2-2a*a*cos\alpha\\ e^2=2a^2(1-cos\alpha)\\ \frac{h^2}{tg^2\beta}=2a^2(1-cos\alpha)=>a^2=\frac{h^2}{2tg^2\beta(1-cos\alpha)}\\ a=\frac h{\sqrt2tg\beta\sqrt{1-cos\alpha}} \\V=P_pH=a^2sin\alpha*h=hsin\alpha*\frac{h^2}{2tg^2\beta(1-cos\alpha)}=\\= \frac{h^3sin\alpha}{2tg^2\beta(1-cos\alpha)}$