Question

NA bokach kwadratu ABCD zaznaczono cztery punkty:K,L,M,N takie, że: AK/KB=BL/LC=CM/MD=DN/NA=3. Uzasadnij, że czworokąt KLMN jest kwadratem i oblicz stosunek polakwadratu ABCD do pola czworokata KLMN.

Answer 1

Niech AB =BC = CD =AD = 4 cm
oraz mamy 4 punkty K,l,M,N na bokach tego kwadratu takie, że
AK/KB = BL/LC = CM/MD = DN/NA = 3
Weźmy trójkąt AKN, AK =3, KB = 1,NA = 1
Z Tw. Pitagorasa mamy
3² + 1² = c²
c² = 9+1 = 10
c = KN = √10
Analogicznie obliczymy, że
KL =√10, LM = √10, MN = √10
Wszystkie boki czworokąta KLMN są równe.
Niech α będzie miarą kąta ostrego AKN, a β drugiego kąta
ostrego ANK.
Ponieważ Δ AKN jest prostokątny, to mamy
α + β + 90 = 180 ------> β = 90 - α
Wszystkie trójkąty AKN,BLK,CML,DNM są przystające , zatem
mają takie same kąty,
Niech γ będzie miarą kąta NKL.
Mamy
α + γ + β = α + γ + (90-α) = γ + 90 = 180 ----> γ = 90.
Analogicznie możemy wykazać, że kąty
KLM,LMN,MNK mają miary równe 90 stopni.
Zatem czworokąt KLMN jest kwadratem.
Pole kwadratu ABCD P1 = (4cm)² = 16 cm²
Pole kwadratu KLMN P2 = (√10 cm)² = 10 cm²
P1/P2 = 16/10 = 8/5
Zadanie zostało zrobione dla przypadku, gdy boki kwadratu
ABCD miały długości równe 4 cm.
W przypadku ogólnym mamy
AB = BC =CD =AD = x
Wtedy AK/KB = 3
zatem AK = (3/4)x oraz KB = (1/4)x
c = NK
c² = ((3/4)x)² + ( (1/4)x)² = (9/16) x² + (1/16)x² =(10/16)x²
c = NK = (√10/4)x
Pozostałe boki KL,LM,MN mają po tyle samo, zatem
P1 = x²
P2 = [(√10/4)x]² = (10/16)x²
P!/P2 = x²/[(10/16)x²] = 1/(10/16) = 16/10 = 8/5