Question

Na wielkiej polanie w wielkim kręgu stoi 2009 krasnoludków.
Trwa właśnie wybór nowego władcy.
Odbywa się on w następujący sposób:
krasnoludki stojące w kręgu zaczynają odliczać - począwszy od ustępującego po skończeniu swojej kadencji władcy (który mówi liczbę jeden);
kolejny krasnoludek mówi dwa, następny trzy itd., przy czym każdy, kto powiedział liczbę parzystą, niezwłocznie opuszcza polanę;
odliczanie nie kończy się po obejściu pełnego okrążenia, tylko jest nadal kontynuowane - 2009, 2010, 2011 itd...
nowym władcą zostaje krasnoludek, który jako ostatni zostanie na polanie.
Należy odpowiedzieć na następujące pytania:
Na którym miejscu przy ustawieniu początkowym stoi nowy władca (czyli jaki miał numer przy pierwszym liczeniu)?
Jaką liczbę wymienił ostatni wychodzący z polany krasnoludek?
Jaka musiałaby być liczba krasnoludków (przy czym wiadomo, że zawsze jest ich więcej, niż 2000, a mniej, niż 3000), aby odchodzący władca zachował swój urząd?

Answer 1

*** ANALIZA ZADANIA ***

Na początku mamy 2009 krasnoludków. Po pierwszym liczeniu odpadają "parzyści" (numery 2, 4, 6...2006, 2008), czyli odpadają 1004 krasnoludki. Na polanie zostaje 1005 krasnoludków.

Kolejne okrążenia liczenia:
- drugie: na polanie jest 1005 krasnoludków, odliczają od 2010 do 3014, odpada 503 krasnoludków, zostaje 502
- trzecie: na polanie jest 502 krasnoludków, odliczają od 3015 do 3516, odpada 251 krasnoludków, zostaje 251
- czwarte: na polanie jest 251 krasnoludków, odliczają od 3517 do 3767, odpada 125 krasnoludków, zostaje 126
- piąte: na polanie jes 126 krasnoludków, odliczają od 3768 do 3893, odpada 63 krasnoludków, zostaje 63
- szóste: na polanie jest 63 krasnoludków, odliczają od 3894 do 3956, odpada 32 krasnoludków, zostaje 31
- siódme: na polanie jest 31 krasnoludków, odliczają od 3957 do 3987, odpada 15 krasnoludków, zostaje 16
- ósme: na polanie jest 16 krasnoludków, odliczają od 3988 do 4003, odpada 8 krasnoludków, zostaje 8
- dziewiąte: na polanie jest 8 krasnoludków, odliczają od 4004 do 4011, odpada 4 krasnoludków, zostaje 4
- dziesiąte: na polanie jest 4 krasnoludków, odliczają od 4012 do 4015, odpada 2 krasnoludków, zostaje 2
- jedenaste: na polanie jest 2 krasnoludków, odliczają od 4016 do 4017, odpada 1 krasnoludek


*** PYTANIE 1 ***

"Na którym miejscu przy ustawieniu początkowym stoi nowy władca (czyli jaki miał numer przy pierwszym liczeniu)?"

Przy pierwszym liczeniu zaczynamy od liczby nieparzystej, więc zostają krasnoludki z początkowymi numerami 1, 3, 5, 7, 9, ...
Przy drugim liczeniu zaczynamy od liczby parzystej, więc zostają krasnoludki z początkowymi numerami 3, 7, 11, 15, 19, ...
Przy trzecim liczeniu zaczynamy od liczby nieparzystej, więc zostają krasnoludki z początkowymi numerami 3, 11, 19, 27, 35, ...
Przy czwartym liczeniu zaczynamy od liczby nieparzystej, więc zostają krasnoludki z początkowymi numerami 3, 19, 35, 51, 67, ...
Przy piątym liczeniu zaczynamy od liczby parzystej, więc zostają krasnoludki z początkowymi numerami 19, 51, 83, 115, 147, ...
Przy szóstym liczeniu zaczynamy od liczby parzystej, więc zostają krasnoludki z początkowymi numerami 51, 115, 179, 243, 307, ...
Przy siódmym liczeniu zaczynamy od liczby nieparzystej, więc zostają krasnoludki z początkowymi numerami 51, 179, 307, 435, 563, ...
Przy ósmym liczeniu zaczynamy od liczby parzystej, więc zostają krasnoludki z początkowymi numerami 179, 435, 691, 947, 1203, ...
Przy dziewiatym liczeniu zaczynamy od liczby parzystej, więc zostają krasnoludki z początkowymi numerami 435, 947, 1459 i 1971
Przy dziesiątym liczeniu zaczynamy od liczby parzystej, więc zostają krasnoludki z początkowymi numerami 947 i 1971
Przy jedenastym liczeniu zaczynamy od liczby parzystej, więc zostają krasnoludki z początkowymi numerami 1971

Odpowiedź: Nowy władca miał w pierwszym liczeniu numer 1971

*** PYTANIE 2 ***

"Jaką liczbę wymienił ostatni wychodzący z polany krasnoludek?"

Odpowiedź: Zgodnie z analizą zadania, ostatni wychodzący z polany krasnoludek wymienił liczbę 4016.

*** PYTANIE 3 ***

"Jaka musiałaby być liczba krasnoludków (przy czym wiadomo, że zawsze jest ich więcej, niż 2000, a mniej, niż 3000), aby odchodzący władca zachował swój urząd?"

Odpowiedź: Aby obecny władca stojący na pozycji numer jeden pozostał władcą, każde kolejne liczenie powinno zaczynać się od liczby nieparzystej. Warunek ten zostanie spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy liczba krasnoludków będzie potęgą dwójki (2, 4, 8, 16, ... 2048, ... itd.)