Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidlowy trójkątny , w którym promień okręgu opisanego na podst.... Question from @Kiyomiska

October 2018 1 90 Report

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidlowy trójkątny , w którym promień okręgu opisanego na podstawie ma długość 6 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa.

Rysunek w załączniku. { Trochę niewyraźny, bo foto robione telefonem}

unicorn05 Objętość ostrosłupa: V=¹/₃·Pp·H
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa: Pc=Pp+Pb

Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma jako podstawę trójkąt równoboczny, a jego powierzchnię boczną tworzą trzy przystające (jednakowe) trójkąty równoramienne.
Czyli:
   |AB|=|BC|=|AC|=a
   |AS|=|BS|=|CS|=b
   $V=\frac13\cdot \frac{a^2\sqrt3}4\cdot H\\P_c= \frac{a^2\sqrt3}4+3\cdot\frac12a\cdot h_1$

Wysokości trójkąta równobocznego przecinają się w jednym punkcie, który dzieli je w stosunku 2:1 (czyli na odcinki ²/₃h i ¹/₃h)
Krótsza część jest promieniem (r) okręgu wpisanego w ten trójkąt, a dłuższa promieniem (R) okręgu opisanego na trójkącie.
Stąd wniosek, że:
   R = 2r /:2
   r = ¹/₂R
R = |AO| = 6cm
r = |OE| = ¹/₂|AO| = ¹/₂·6 = 3cm

Trójkąt EOS jest trójkątem prostokątnym o kątach ostrych 60° i 30°
Czyli:
   h₁ = 2r = 2·3 = 6cm
   H = r√3 = 3√3 cm

Wysokość w trójkącie równobocznym (podstawa ostrosłupa): $h=\frac{a\sqrt3}2$

r = ¹/₃h /·3
h = 3r = 3·3 = 9cm

Stąd:
$9=\frac{a\sqrt3}2\quad/\cdot2\\\\18=a\sqrt3\quad/:\sqrt3\\\\ a=\frac{18}{\sqrt3}=\frac{18}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{18\sqrt3}3=6\sqrt3\ cm$

Mamy wszystkie potrzebne dane, więc podstawiamy do wzorów.

$V=\frac13\cdot \frac{a^2\sqrt3}4\cdot H\qquad\qquad a=6\sqrt3\ cm,\ \ H=3\sqrt3\ cm\\\\V=\frac13\cdot \frac{(6\sqrt3)^2\,\sqrt3}4\cdot 3\sqrt3= \frac{36\cdot3\cdot\sqrt3}4\cdot \sqrt3= 9\cdot3\cdot\sqrt3\cdot\sqrt3=81\ cm^3\\\\\\P_c= \frac{a^2\sqrt3}4+3\cdot\frac12a\cdot h_1\qquad\qquad a=6\sqrt3\ cm,\ \ h_1=6\,cm\\\\P_c= \frac{(6\sqrt3)^2\sqrt3}4+3\cdot\frac12\cdot6\sqrt3\cdot 6= \frac{36\cdot3\cdot\sqrt3}4+3\cdot\frac12\cdot6\sqrt3\cdot 6=\\\\=9\cdot3\sqrt3+9\sqrt3\cdot6=27\sqrt3+54\sqrt3=81\sqrt3\ cm^2$

4 votes Thanks 6