Na rysunkach przedstawione są ostrosłupy prawidłowe. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość k.... Question from @hipopotam

August 2018 1 107 Report

Na rysunkach przedstawione są ostrosłupy prawidłowe. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość każdego z tych ostrosłupów.
Daje naj.

unicorn05 Każdy ostrosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt foremny, a jako ściany boczne, jednakowe trójkąty równoramienne.

a)
Podstawa jest kwadratem.
Przekątna kwadratu to d=a√2 = 4√2
Połowa przekątnej podstawy (d/2) tworzy z wysokością ostrosłupa (H) i krawędzią boczną (b=10) trójkąt prostokątny.
Z tw. Pitagorasa:
   $H^2+(\frac d2)^2=b^2\\\\ H^2+(2\sqrt2)^2=10^2\\\\H^2+8=100\\\\H^2=92\\\\H=2\sqrt{23}$

Wysokość ściany bocznej (h) tworzy trójkąt prostokątny z krawędzią boczną (b=10) i połową krawędzi podstawy (a/2=2)
Z tw. Pitagorasa:
   $h^2+(\frac a2)^2=b^2\\\\h^2+2^2=10^2\\\\h^2=100-4\\\\h=\sqrt{96}=4\sqrt6
$

$V=\frac13P_p\cdot H=\frac13\cdot a^2\cdot H\\\\V=\frac13\cdot4^2\cdot2\sqrt{23}=\frac{32\sqrt{23}}3\ \,[j^3]\\\\\\P_c=P_p+P_b=a^2+4\cdot\frac12ah=a^2+2ah\\\\P_c=4^2+2\cdot4\cdot4\sqrt6=16+32\sqrt6=16(1+2\sqrt6)\ [j^2]$

b)
Podstawa to trójkąt równoboczny.
Wysokość trójkąta równobocznego: $h_1=\frac{a\sqrt3}2=\frac{6\sqrt3}2=3\sqrt3$

Wysokość ściany bocznej z tw. Pitagorasa:
      $h^2+(\frac a2)^2=b^2\\\\h^2+3^2=9^2\\\\h^2=81-9\\\\h^2=72=6\sqrt2
$

Wysokość ostrosłupa z tw Pitagorasa:
   $H^2+(\frac23h_1)^2=b^2\\\\H^2+(\frac23\cdot3\sqrt3)^2=9^2\\\\H^2+(2\sqrt3)^2=81\\\\H^2=81-12=69\\\\H=\sqrt{69}
$

$V=\frac13P_p\cdot H=\frac13\cdot \frac{a^2\sqrt3}4\cdot H\\\\V=\frac13\cdot \frac{6^2\sqrt3}4\cdot\sqrt{69}=\frac{36\cdot\sqrt3\cdot\sqrt{3\cdot23}}{3\cdot4}=\frac{9\cdot3\cdot\sqrt{23}}{3}=9\sqrt{23}\,\ [j^3]\\\\\\P_c=P_p+P_b= \frac{a^2\sqrt3}4+3\cdot\frac12ah\\\\P_c=\frac{6^2\sqrt3}4+3\cdot\frac12\cdot6\cdot6\sqrt2=9\sqrt3+54\sqrt2=9(\sqrt3+6\sqrt2)\ [j^2]$

c)
Podstawą jest sześciokąt foremny o boku a=2, który możemy podzielić na sześć trójkątów równobocznych o boku a=2
Wysokość ostrosłupa:
      $H^2+a^2=b^2\\\\H^2+2^2=6^2\\\\H^2=36-4\\\\H=\sqrt{32}=4\sqrt2$

Wysokość ściany bocznej:
   $h^2+(\frac a2)^2=b^2\\\\h^2+1^2=6^2\\\\h^2=36-1\\\\h=\sqrt{35}$

$V=\frac13P_p\cdot H=\frac13\cdot6\cdot \frac{a^2\sqrt3}4\cdot H= \frac{a^2\sqrt3}2\cdot H\\\\V= \frac{2^2\sqrt3}2\cdot4\sqrt{2}=2\sqrt3\cdot4\sqrt{2}=8\sqrt{6}\,\ [j^3]\\\\\\P_c=P_p+P_b= 6\cdot \frac{a^2\sqrt3}4+6\cdot\frac12ah\\\\P_c=6\cdot \frac{2^2\sqrt3}4+6\cdot\frac12\cdot2\cdot\sqrt{35}=6\sqrt3+6\sqrt{35}=6(\sqrt3+\sqrt{35})\ [j^2]$

9 votes Thanks 56