Question

Na pewnym trapezie można opisać okrąg, a także można w ten trapez wpisać okrąg. Podstawy tego trapezu mają długości 8 i 18. Ile wynosi pole tego trapezu ?

Answer 1

Odpowiedź:

P = 156

Szczegółowe wyjaśnienie:

Aby na czworokącie opisać okrąg musi być spełniony warunek, że suma przeciwległych kątów daje 180. W trapezie jest to możliwe dla trapezu równoramiennego.

Aby w czworokąt wpisać okrąg musi być spełniony warunek, że suma długości jednych boków przeciwległych jest równa sumie drugich boków przeciwległych. W naszym przypadku a + b = c + c (gdzie c jest ramieniem

2c = 18 + 8

2c = 26

c = 13

Jak poprowadzimy wysokości tego trapezu, to podzielą one dolną podstawę na trzy odcinki, z których jeden będzie równy górnej podstawie, czyli 8, a pozostałe będą miały po 5.

Rozpatrzmy trójkąt składający się z odcinka 5, wysokości i ramienia. Jest to trójkąt prostokątny, więc potrzebną wysokość można obliczyć z tw. Pitagorasa:

5² + h² = 13²

h² = 169 -25

h² = 144 /√

h = 12

Liczymy pole trapezu: P = 0,5(a + b)h

P = 0,5 · (18 + 8) · 12 = 156