Question

Na okręgu zaznaczono n punktów. Liczba trójkątów,które można utworzyć,łącząc dowolne trzy spośród tych punktów,jest równa 84. Oblicz n.

Answer 1

N = 1
Przy takiej ilości punktów nie da się zbudować trójkąta.

n = 2
Nadal za mało by zbudować trójkąt.

n = 3
Teraz trójkąt może powstać. Oznaczając punkty cyframi 1, 2, 3, powstaje trójkąt 123. Więc mamy jeden możliwy trójkąt.

n = 4
Oznaczmy punkty cyframi, tak jak poprzednio: 1, 2, 3, 4. Powstaną takie trójkąty:
123
124
134
234
Mamy 4 trójkąty.

n = 5
Analogicznie mamy punkty: 1, 2, 3, 4, 5. Powstałe trójkąty:
123
124
125
134
135
145
234
235
245
345
Mamy już 10 trójkątów!
I w tym momencie się zatrzymałem, by zauważyć pewną zasadę.

Tworzę trójkąty w taki sposób, że biorę dwie początkowe liczby i z nimi tworzę jak najwięcej trójkątów. Jeżeli został jeden punkt, mamy trójkąt, jak dwa, to otrzymamy dwa trójkąty itd. To samo robię z następną liczbą, z tym, że będę miał teraz trójkąt mniej, bo nie liczymy punktu poprzedniego. Mała uwaga; tak robimy do momentu przedostatniego punktu. I tym tropem zauważyłem, że:

• para punktów 12 utworzy (n – 2) trójkątów
• para punktów 13 utworzy (n – 3) trójkątów
• para punktów 14 utworzy (n – 4) trójkątów
...
• para punktów 23 utworzy (n – 3) trójkątów
• para punktów 24 utworzy (n – 4) trójkątów
• para punktów 25 utworzy (n – 5) trójkątów
...
• para punktów 34 utworzy (n – 4) trójkątów
• para punktów 35 utworzy (n – 5) trójkątów
• para punktów 36 utworzy (n – 6) trójkątów

itd.

Powstał swego rodzaju "ciąg":
• dla n = 3, mamy → 1
• dla n = 4, mamy → 1 + (1 + 2) = 4
• dla n = 5, mamy → 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) = 10
• dla n = 6, mamy → 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) = 20
• dla n = 7, mamy → 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 35
• dla n = 8, mamy → 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 56
• dla n = 9, mamy → 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 84