Question

Na loterii jest 200 losów , z tego 2 wygrywające po 450zł i 4 wygrywające po 250zł. Kupujemy jeden los za 10zł. Oblicz wartość oczekiwaną wygranej na loterii. Uwzględnij cenę zakupu losu .
Proszę o rozwiązanie i wytłumaczenie

Answer 1

Wartość oczekiwana wygranej na loterii wynosi:

[tex]\huge\boxed{EX=-0,5}[/tex]

Wartość oczekiwana

Jeśli pewne zdarzenie może być zakończone efektami [tex]x_1,x_2,...,x_n[/tex] oraz do każdego ze zdarzeń mamy przypisane prawdopodobieństwo [tex]p_1,p_2,...,p_n[/tex], to wartością oczekiwaną nazywamy wartość wyrażenia:

[tex]EX=x_1p_1+x_2p_2+...+x_np_n[/tex]

Pojęcie wartości oczekiwanej jest często wykorzystywane w teorii gier. Jeśli dla danej sytuacji mamy [tex]EX=0[/tex], to mówimy, że gra jest sprawiedliwa.

Rozwiązanie:

Na loterii jest 200 losów, z tego 2 wygrywające po 450 zł i 4 wygrywające po 250 zł. Kupujemy jeden los za 10 zł. Znajdziemy wartość oczekiwaną wygranej na tej loterii.

Prawdopodobieństwo wylosowania losu z wygraną 450 zł wynosi:

[tex]p_1=\dfrac2{200}=\dfrac1{100}=0,01[/tex]

Po zakupieniu takiego losu za 10 zł, nasz zysk wynosi:

[tex]x_1=450-10=440zl[/tex]

Prawdopodobieństwo wylosowania losu z wygraną 250 zł wynosi:

[tex]p_2=\dfrac4{200}=\dfrac2{100}=0,02[/tex]

Po zakupieniu takiego losu za 10 zł, nasz zysk wynosi:

[tex]x_2=250-10=240zl[/tex]

Prawdopodobieństwo wylosowania pustego losu (jest ich 200 - 2 - 4 =194) wynosi:

[tex]p_3=\dfrac{194}{200}=\dfrac{97}{100}=0,97[/tex]

W takim przypadku nasza strata wynosi:

[tex]x_3=-10zl[/tex]

Powyższe dane możemy zapisać w tabeli:

[tex]\begin{tabular}{|c||c|c|c|}\cline{1-4}x_i&440&240&-10\\\cline{1-4}p_i&0,01&0,02&0,97\\\cline{1-4}\end{tabular}[/tex]

Wartość oczekiwana wygranej na loterii wynosi:

[tex]EX=440\cdot0,01+240\cdot0,02+\left(-10\right)\cdot0,97=4,4+4,8-9,7=9,2-9,7=-0,5[/tex]