Question

Proszę o rozwiązanie:

||||x+2|+2|+2|+2|=8

najlepsza byłaby odpowiedź w zeszycie / na kartce, ale to już wg upodobań :)

Answer 1

W tym zadaniu skorzystamy z następującego faktu:

Jeśli |dla pewnych liczb x i b zachodzi równość:
|x| = b, to stąd wynika, że
(*): jeśli b > 0, to x = b lub x = -b;
(**): jeśli b = 0, to x = b = 0;
(***): jeśli b < 0, to równanie |x|=b z niewiadomą x jest sprzeczne (nie ma liczb rzeczywistych x spełniających to równanie).
 


Mamy, że:
||||x+2|+2|+2|+2| = 8,
zatem

(1): |||x+2|+2|+2|+2 = 8 lub (2): |||x+2|+2|+2|+2 = -8.
Ale zauważmy, że (2) jest równoważne warunkowi |||x+2|+2|+2| = -10, co jest sprzeczne, bo z lewej strony znaku równości mamy liczbę nieujemną (bo wartość bezwzględna), a po prawej liczbę ujemną. Zatem wystarczy rozpatrzeć warunek (1).

Warunek (1) jest równoważny zapisowi:
|||x+2|+2|+2| = 6.

A ten ostatni warunek jest równoważny alternatywie warunków:
(3): ||x+2|+2|+2 = 6 lub (4): ||x+2|+2|+2 = -6.
I znowu zauważamy, że warunek (4) jest sprzeczny (to samo rozumowanie).

Zatem wystarczy rozpatrzeć warunek (3):
Jest on równoważny warunkowi:
||x+2|+2| = 4.

A ten ostatni warunek jest równoważny alternatywie:
(5): |x+2|+2 = 4 lub (6): |x+2|+2 = -4.
Znów zauważamy, że warunek (6) jest sprzeczny.

Zatem rozważamy warunek (5) i zapisujemy go równoważnie:
|x+2| = 2.

A zatem:
(7): x+2 = 2 lub (8): x+2 = -2

Stąd (warunek (8) już nie jest sprzeczny, bo już nie ma po lewej stronie znaku równości wartości bezwzględnej):

x = 0 lub x = -4.
I to jest nasza odpowiedź
(to znaczy rozwiązaniami zadanego równania są liczby 0 oraz (-4) .