Question

Na boku BC trójkąta równobocznego ABC obrano taki punkt M, że pole trójkąta ACM jest cztery razy mniejsze od pola trójkąta ABM. Oblicz sin kata CAM i kąta MAB

Answer 1

< CAM = α,  < MAB = (60-α)

Trójkąt równoboczny, więc wszystkie kąty trójkąta = 60*

 

Liczymy pola obu trójkątów  z funkcją sinus:

PΔ(ACM) = 1/2 * AM *a*sinα

PΔABM = 1/2 * AM *sin(60-α)

------------------------------------

P(ACM)/P(ABM) = 1/4 *sinα/sin(60-α)

4sinα = sin(60-α) = sin60cosα-sinαcos60  /:1/2

8sinα = √3*cosα-sinα

9sinα = √3*cos   I()²

81sin²α = 3cos²α = 3(1-sin²α)

84sin²α = 3  /:3

28sin²α = 1

sinα = √7/14

 

sin(60-α) = 4sinα = 4*√7/14 = 2√7/7

Odp.Sin kątaCAM wynosi √7/14, a kątaMAB: 2√7/7

 

 

Answer 2