Question

Na 101 kartkach Adam zapisał liczby naturalne od 1 do 101, po jednej na każdej kartce. Potem kartki odwrócił, pomieszał i zapisał znowu liczby od 1 do 101, po jednej na każdej kartce. Następnie dodał liczby z obu stron kartki. Wykaż, że iloczyn otrzymanych wyników jest liczbą parzystą.

Answer 1

Odpowiedź:

Iloczyn liczb całkowitych jest parzysty wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z tych liczb jest podzielna przez 2.

Dlatego wystarczy wykazać, że co najmniej jedna kartka będzie miała tę własność, że suma liczb zapisanych na jej przodzie i na odwrocie będzie podzielna przez 2.

Załóżmy przeciwnie, że wszystkie sumy liczb z obu stron kartek są nieparzyste.

Łatwo zaobserwować, że:

• suma dwóch liczb parzystych jest parzysta,
• suma dwóch liczb nieparzystych jest parzysta,
• suma liczby parzystej i nieparzystej jest nieparzysta.

Zatem na każdej kartce jest zapisana liczba parzysta po jednej stronie i nieparzysta po drugiej stronie. Stąd Adam łącznie zapisał na kartkach 101 (tyle, ile kartek) liczb parzystych oraz 101 liczb nieparzystych. Jednak Adam zapisał dwukrotnie wszystkie liczby od 1 do 101, a wśród tych liczb jest 50 parzystych (2, 4, 6, ..., 100) i 51 nieparzystych (1, 3, 5, ... 101). Stąd zapisał 100 liczb parzystych i 102 nieparzyste. Otrzymaliśmy sprzeczność! Zatem na mocy dowodu nie wprost, co najmniej jedna kartka będzie miała tę własność, że suma liczb zapisanych na jej przodzie i na odwrocie będzie podzielna przez 2. Stąd wynika teza.