Aby zbadać monotoniczność ciągu o danym wyrazie ogólnym , należy zbadać różnicę
Jeśli różnica jest dodatnia to ciąg jest rosnący, jeśli ujemna ciąg jest malejący, a jeśli równa 0, to ciąg jest stały.
Z pewnością nie chodzi o ciąg:
, który jest ciągiem stałym, bo
Zatem badamy ciąg:
Dla każdego n ∈ N otrzymane wyrażenie jest dodatnie. W liczniku jest liczba dodatnia i w mianowniku również otrzymamy dla każdego n ∈ N liczbę dodatnią, bo suma liczb dodatnich jest dodatnia i iloczyn liczb dodatnich jest dodatni, a także iloraz liczb dodatnich jest dodatni, zatem:
Aby zbadać monotoniczność ciągu o danym wyrazie ogólnym , należy zbadać różnicę
Jeśli różnica jest dodatnia to ciąg jest rosnący, jeśli ujemna ciąg jest malejący, a jeśli równa 0, to ciąg jest stały.
Z pewnością nie chodzi o ciąg:
, który jest ciągiem stałym, bo
Zatem badamy ciąg:
Dla każdego n ∈ N otrzymane wyrażenie jest dodatnie. W liczniku jest liczba dodatnia i w mianowniku również otrzymamy dla każdego n ∈ N liczbę dodatnią, bo suma liczb dodatnich jest dodatnia i iloczyn liczb dodatnich jest dodatni, a także iloraz liczb dodatnich jest dodatni, zatem:
, czyli ciąg jest rosnący.
Odp. Ciąg (an) jest rosnący.