Question

1. Zapisz w postaci (a1,a2,a3...an)ciąg dany wzorem
a)An=3/n
b)An=2-n/2n+1
c)An=n+(-1)³/n
2. Wykaż że ciąg An dla n należy N+ ciagiem rosnącym jeżeli:
a) An=n/2n+1
b)An= n₂/n+1
3. Wykaz że ciąg bn dla n należy N+ciągiem malejącym jezeli;
a) bn=n+2/2n+1
b) bn=1/n+1/n+1

Answer 1

1. Zapisz w postaci (a1,a2,a3...an)ciąg dany wzorem
a)An=3/n
dla n=1 , 2, 3, 4, 5 mamy
a1=3 ,a2=3/2 , a3=1 , a4 =3/4 , a5 = 3/5 , a6=3/6=½ , a7=3/7 i tak dalej
b)An=2-n/2n+1
a1= 2-1/2+1=1/3 , a2=0/5=0 , a3=-1/7 , a4=-2/9 , a5=-3/11 , ..... an=2-n/2n+1
c)An=n+(-1)³/n
a1=1-1=0 , a2=2-½=3/2 , a3=3-⅓=8/3 , a4=4-¼=15/4 ,....,
2. Wykaż że ciąg An dla n należy N+ ciagiem rosnącym jeżeli:
a) An=n/2n+1
tworzymy wyraz A(n+1)
A(n+1)=(n+1)/2(n+1)+1=(n+1)/2n+3
Tworzymy róznicę
A(n+1)-A(n)= n+1/2n+3-n/2n+1=[(n+1)*(2n+1)-n*(2n+3)]/((2n+3)*(2n+1)=
[2n²+n+2n+1-2n²-3n]/(4n²+8n+3)=
(3n-3n+1)/(4n²+8n+3)=
1/(4n²+8n+3)>0
( w mianowniku f. kwadratowa o współ. kierubkowym dodatnim) zatem ciąg jest rosnący
Tak samo postępujesz w kolejnych podpunktach
b)An= n₂/n+1 ?
3. Wykaz że ciąg bn dla n należy N+ciągiem malejącym jezeli;
a) bn=n+2/2n+1
b) bn=1/n+1/n+1