Question

czy dany ciag jest rosnacy czy malejacy?

a) an=n+1/n+3 b)an=1+1/n

i prosze o wytlumaczenie,z gory dziekuje ;)

Answer 1

a)

an = (n +1)/(n +3)

zatem  an+1 = (n +2)/(n +4)

an+1 - an = (n +2)/( n +4) - (n +1)/(n +3) = [(n +2)(n +3) -(n +1)(n +4)]/ m =

= [n² +5n + 6 -(n² + 4n + n + 4)]/m = 2 /m > 0

gdzie m = ( n +4)(n +3) > 0  dla dowolnej liczby n ∈ N

Zatem ten ciąg jest rosnący.

b)

an = 1 + 1/n

zatem  a n+1 = 1/(n +1)

an+1 - an = 1/(n +1) - 1/n = [n -( n +1)]/[(n +1)*n] =

= -1 /[(n +1)*n] < 0  , bo  (n +1)*n  > 0  dla dowolnej liczby n ∈ N.

Zatem ten ciąg jest malejący.

=================================